Mostrar que $|z-1|^2+|z+1|^2=4$ para todo z tal que $|z|=1$.
[Tenga en cuenta que $|z|$ se refiere a la magnitud de z donde:$z=a+bi$].
Yo era capaz de "probar" la pregunta; sin embargo, no puedo pensar en una interpretación geométrica en el plano complejo.
Geométricamente, esto es el hecho de que cualquier ángulo subtendido por un diámetro es un ángulo recto. En efecto, consideremos el triángulo formado por los puntos $z$, $1$, y $-1$. Desde el segmento de $1$ $-1$es un diámetro del círculo unitario, el ángulo en el $z$ es un ángulo recto. El teorema de Pitágoras dice $|z-1|^2+|z-(-1)|^2=|1-(-1)|^2$, que es lo que usted ha demostrado. Por el contrario, si usted sabe que $|z-1|^2+|z+1|^2=4$, entonces la ley de los cosenos indica el ángulo en el $z$ es un ángulo recto.
Ver el $-1$ $1$ como los extremos de un diámetro del círculo unitario.
Si $z\not\in\{-1,1\}$ se encuentra en la unidad de círculo, las líneas de unirse a $1$ y $z$, $-1$ y $z$ son ortogonales, es decir, el triángulo que tiene $1,-1,z$ como vértices de un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras,
$$ \|1-z\|^2 + \|-1-z\|^2 = 2^2 = 4.$$
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