Encontrar las raíces del polinomio en un campo finito

Question

Necesito construir un campo de $L$ de 121 elementos y encontrar la cantidad de raíces del polinomio $g=x^9-1$$L$. A continuación, para encontrar todas estas raíces.

Por eso, $121=11^2$ este es el poder de la prima. Podemos construir campo finito de 121 elementos encontrando normal polinomio irreducible de energía 2. Podemos ver que $x^9-1 = (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)$, permite llevar a $h=x^2+x+1$ como irreductible, ya que no tiene raíces naturales en $Z_{11}$. Podemos construir el campo de $L=\{k\alpha+b + h(\alpha), k,b \in Z_{11}\}$ al Instante podemos ver que 1 es la raíz de $g$ porque de $(x-1)$.

Estoy en lo cierto hasta el momento? ¿Cómo puedo encontrar otras raíces de $g$ o al menos encontrar su conunt?

Answer 1

Para la construcción de un campo de con $121$ elementos que sólo necesitan de una irreductible, cuadrática, polinómica $\mathbb{F}_{11}$.
Por ejemplo, desde $\left(\frac{2}{11}\right)=-1$ ($2$ no es un residuo cuadrático $\!\!\pmod{11}$, ya que el $11\equiv 3\pmod{8}$)
tenemos: $$ \mathbb{F}_{121}\simeq \mathbb{F}_{11}[z]/(z^2-2) \tag{1}$$ En general, las raíces de $x^9-1$ son de la novena raíces de la unidad, es decir,$1$, la primitiva tercera raíces de la unidad y de la primitiva novena raíces de la unidad: $$ x^9-1 = (x-1)\cdot \Phi_{3}(x)\cdot\Phi_9(x) \tag{2}$$ $\mathbb{F}_{121}^*$ es un grupo cíclico con $120$ elementos, por lo tanto $x^3-1$ divisiones como un producto de factores lineales sobre $\mathbb{F}_{121}$, pero no la raíz de $\Phi_9(x)$ (es decir, sin primitivo novena de la raíz de la unidad) se encuentra en $\mathbb{F}_{121}$, ya que el $9\nmid 120$.
Podemos observar que mediante la definición de $\mathbb{F}_{121}$ $(1)$ tenemos: $$ (z+5)^3 = (z+5)(z^2+10z+25) = (z+5)(2-z+3)=25-z^2=1 \tag{3} $$ por lo tanto $1,z+5$ $(z+5)^2 = 5-z$ son de la tercera raíces de la unidad en la $\mathbb{F}_{121}$.

Aquí tengo $z+5$ mediante el cálculo de $(z+a)^3$ $a=1,2,3,4$ y finalmente ser suerte, pero no es necesario para la prueba y el error. En general, tenemos $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$, pero en $\mathbb{F}_{11}$ tenemos $-3=8$, por lo tanto $$\omega = \frac{-1+2\sqrt{2}}{2} = z+5$$ since $z=\sqrt{2}$, más o menos.

Answer 2

Una vez que usted ha construido $L$, tenga en cuenta que el grupo multiplicativo $L^\times$ orden $120$, por lo que las soluciones de $x^9=1$ son las mismas que las soluciones de $x^3=1$ porque $\gcd(120,9)=3$. Hay exactamente $3$ raíces debido a $L^\times$ es cíclico. Estas raíces se $1, u^{40}, u^{80}$ donde $u$ es un generador de $L^\times$.