Surjection de $G$ en producto directo de $\prod_i G/H_i$

Question

Deje $G$ ser un grupo con $H_1,\ldots,H_n$ normal subgrupos. Definir $\varphi:G\mapsto \prod_i G/H_i$ $\varphi(x)=(xH_1,\ldots,xH_n).$ Probar:

1. $\ker(\varphi)=\cap_i^n H_i$,
2. Si cada $H_i$ ha finito índice en $G$, e $|G/H_i|$ $|G/H_j|$ son relativamente primos para $i\neq j$ $\varphi$ es un surjection y $$[G:\cap_i^n H_i]=\prod_i |G/H_i|.$$

¿Cómo puedo probar $\varphi$ es un surjection?

La parte 1 es muy fácil y la última igualdad se sigue de aplicar el primer teorema de isomorfismo a $\varphi$ pero no puedo averiguar cómo usar la relativamente primos hipótesis a probar surjectivity.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Supongamos $|H|=h$ $k$ un entero positivo tal que $gcd(h,k)=1$, entonces podemos escribir $1=ah+bk$ para algunos enteros $a,b$. Por tanto, para cualquier $x\in H$, $x=x^{ah+bk}=(x^b)^k$. Es decir, $x=y^k$ algunos $y\in H$.

Ahora vamos a $x\in G$, vamos a mostrar que el $(xH_1,H_2,\dots, H_n)$ es en la imagen de $\varphi$. Aplicar el argumento anterior para $H=G/H_1$$k=|G/H_2|\cdots |G/H_n|$, vemos que $$\phi(x)=\phi(y^k)=(y^kH_1,y^kH_2,\dots, y^kH_n)=(xH_1,H_2,\dots, H_n).$$ Tenga en cuenta que $y^kH_2=H_2$ porque $|G/H_2|$ divide $k$. Por lo que el factor de $G/H_1$ es en la imagen de $\varphi$. Del mismo modo para los otros factores.

Answer 2

Para las correspondencias entre conjuntos finitos, para concluir bijectivity es suficiente para argumentar que los conjuntos tienen el mismo tamaño y el mapa es inyectiva. Considere la posibilidad de $G/\bigcap_{i=1}^n H_i\to \prod_{i=1}^n G/H_i$. Vamos a comprobar el tamaño de la equivalencia.

Uno puede demostrar que $[G:H\cap K]\le [G:H][G:K]$ un par de formas:

• Deje $H$ act transitivamente de la izquierda en el coset espacio de $HK/K$. El elemento $K$ tiene estabilizador $H\cap K$. En órbita-estabilizador nos dice $[H:H\cap K]=[HK:K]$. Por lo tanto, se puede concluir que la $[G:H\cap K]=[G:H][H:H\cap K]=[G:H][HK:K]\le [G:H][G:K]$.
• Deje $G$ act en diagonal en $G/H\times G/K$. El estabilizador de la $H\times K$$H\cap K$, de manera que la órbita-estabilizador dice que la órbita de $H\times K$ tiene el tamaño de $[G:H\cap K]$, que está delimitada por $|G/H\times G/K|$, que es precisamente el producto de $[G:H][G:K]$.

Inducción para obtener $[G:\bigcap_{i=1}^n H_i]\le \prod_{i=1}^n [G:H_i]$.

Pero por transitividad, $[G:\bigcap_{i=1}^n H_i]=[G:H_j][H_j:\bigcap_{i=1}^n H_i]$ es un múltiplo de a $[G:H_j]$ por cada índice $j$. Ahora, para algunos elementales de la teoría de números.

Si un número $m$ es divisible por $d_1,d_2,\cdots,d_n$ que son (pairwise) coprime, lo que se puede concluir, ¿y qué pasa si usted también sabe que $m\le d_1d_2\cdots d_n$?