Reconocimiento de positivo integral de las proyecciones en un grupo de álgebra

Question

Deje $G$ ser cualquier Grupo finito y $e \in \mathbb{C}G$ ser un central idempotente elemento que se descompone $\mathbb{C}G = R \times S$ en un producto directo de los anillos de $R = \mathbb{C}Ge$$S = \mathbb{C}G(1-e)$. Deje $\mathbb{N}G$ denotar el aditivo submonoid de $\mathbb{C}G$ que se compone de todos no negativos integral de las combinaciones lineales de los elementos de grupo. Quiero clasificar la proyección de este monoid a $R$, es decir,$\mathbb{N}Ge$.

Para ser más específicos, estoy buscando un criterio que determina para cualquier $x \in \mathbb{Z}G$ si hay un $y \in \mathbb{N}G$ tal que $xe = ye$ mantiene. En particular, sería agradable si este reconocimiento se puede hacer por sólo conociendo el carácter de $G$ correspondiente a $e$ (y tal vez también su descomposición en irreducibles de caracteres).

Gracias de antemano!

Answer 1

Dado un grupo finito $G$, una representación $V$ es un espacio vectorial equipado con un mapa de $\Bbb CG\to{\rm End}(V)$; esto induce a una diagonal mapa de $\Bbb CG\to\bigoplus {\rm End}(V)$ sobre todas las representaciones irreducibles $V$. Sabemos que este mapa es un isomorfismo, y la central primitivo idempotente ${\rm id}_V$ (para un determinado irrep $V$) del codominio corresponde a la administración central primitivo idempotente $e(\chi_V)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_V(g^{-1})g$ del grupo de álgebra.

La central idempotents de $\Bbb CG$ parecerse a $e(\chi)=\sum_{V\in A}e(\chi_V)$ de los subconjuntos $A\subseteq{\rm Irr}(G)$.

Supondremos $0\in\Bbb N$ (de lo contrario $\Bbb NG$ no tiene identidad aditiva y no es una monoid).

Para $x\in\Bbb CG$ $V\in{\rm Irr}(G)$ tenemos $x\,e(\chi_V)=0$ si y sólo si $xV=0$. Deje $\eta=\sum_{g\in G}g$. Observar que $\eta V$ $G$- invariante y por lo que sea a $\eta V=0$ o $V=\Bbb C$ es el trivial de la representación.

• ($e$ no contiene trivial rep): supongamos $x\in\Bbb ZG$ es arbitrario. Pick $n\in\Bbb N$ lo suficientemente grande como para $x+n\eta\in\Bbb NG$. A continuación,$xe=(x+n\eta)e$. Por lo tanto $\Bbb ZGe=\Bbb NGe$.
• ($e=\eta$): desde $g\eta=\eta$ todos los $g\in G$, el mapa de $x\mapsto xe$ es de $x$ a la suma de sus coeficientes veces $\eta$. Por lo tanto $\Bbb NG\eta=\Bbb N\eta$ $xe\in\Bbb NGe$ iff la suma de $x$'s de los coeficientes es en $\Bbb N$.

Ahora tenemos que averiguar lo que sucede cuando $e$ contiene tanto triviales y no triviales reps...