Mostrar que $\langle(1234),(12)\rangle = S_4$

Question

Estoy tratando de mostrar que $\langle(1234),(12)\rangle = S_4$. Puedo multiplicar y obtener todos los $24$ permutaciones de forma manual, pero no hay una solución más compacta?

Answer 1

Escribir $H$ para el subgrupo generado por los dos permutaciones. A continuación,$(1234)(12)=(234)$, lo $H$ contiene, ciertamente, los elementos de $\langle(1234)\rangle$, $\langle (234)\rangle$ y $(12)$, por lo tanto $\vert H\vert \geq 7$ y por lo tanto $\vert H\vert \geq 8$ ($\vert H\vert$ debe dividir $24=\vert S_{4}\vert$). Desde $(1234)\in H$, pero por ejemplo una permutación no es ni siquiera, yo.e no pertenece a $A_{4}$, $H$ no es un subgrupo de $A_{4}$. Por Lagrange del teorema, $\vert H\vert$ debe ser igual a $24$ (el único subgrupo de orden $12$$S_{4}$$A_{4}$) y hemos terminado.

Answer 2

No estoy seguro de si este "pacto" de la solución, pero esto se desprende de un más general el resultado de que el $\langle (123\ldots n),(12) \rangle = S_{n}$, que creo que sería más limpio y más instructivo para mostrar. Sugerencia: vea si usted puede demostrar que este subgrupo genera todas las transposiciones en $S_{n}$, y por lo tanto genera $S_{n}$.

Answer 3

Espero que les son familiares a $S_4$ presentación: $$S_4=\langle a,b\mid a^2=b^4=(ab)^3=1\rangle$$ Considering a nice Corollary of Von Dyck's Theorem we can set $a=(1,2),~~~b=(1,2,3,4)$ and see that $(ab)^3=1,^2=b^4=1$. También, un pequeño programa en la BRECHA del medio ambiente podría mostrar este rápido y fácil:

gap> f:=FreeGroup("a","b");
gap> a:=f.1;; b:=f.2;; 
     s:=f/[a^4,b^2,(a*b)^3];;
gap> StructureDescription(s);
                                         "S4"

Answer 4

Los dos métodos me gustaría utilizar son

• mostrar todos los relatos aparecen. Si $c$ es el ciclo y $t$ la transposición, a comenzar analizando $c^{-1}tc$.
• tenga en cuenta que tenemos un elemento de orden 4 ya, y multiplicando los que tenemos juntos da un elemento de orden 3. Por lo tanto, el grupo ha generado la orden divisible por 12. Pero el único subgrupo de tamaño 12 $A_4$ que este claramente no es.