Probabilidad de que un lineal de la ecuación de Diophantine tiene una solución

Question

Dado un lineal de la ecuación de Diophantine $(\mathcal D)$ con dos variables $x$$y$:

$$(\mathcal D):\quad ax+by=c$$

Quiero calcular la probabilidad de $P$ que $(\mathcal D)$ tiene una solución.

Sabemos que $(\mathcal D)$ tiene una solución si, y sólo si, $d:=\gcd(a,b)$ divide $c$.

Así que si $a$ $b$ son coprime, $(\mathcal D)$ tiene una solución, por lo que el uso de un resultado en coprime enteros, hemos

$$p\geqslant \mathbb P(d=1)=\frac 1{\zeta(2)}=\frac 6{\pi^2}.$$

Desde $d$ debe divide $c$, para cada una de las $d$ hay $\frac 1d$ enteros que va a trabajar para $c$, por lo que

$$p=\sum_{k=1}^\infty \mathbb P(d=k)\frac 1k.$$

Entonces podemos majorate $\mathbb P(d=k)$$\mathbb P(d\geqslant k)=\frac 1k\times \frac 1k$$k\geqslant 2$.

Así

$$p=\mathbb P(d=1)\times 1+\sum_{k=2}^\infty\mathbb P(d=k)\frac 1k\leqslant \frac 1{\zeta(2)}+\sum_{k=2}^\infty\frac 1{k^2}\frac 1k=\frac 1{\zeta(2)}+\zeta(3)-1.$$

Lo que tenemos hasta ahora con nuestro análisis aproximado es:

$$\frac 1{\zeta(2)}\leqslant p\leqslant \frac 1{\zeta(2)}+\zeta(3)-1$$

$$0.6079<p<0.8100.$$

He leído en algún sitio (si entiendo que el artículo correctamente) que

$$\mathbb P(d=k)=\frac 1{\zeta(2)k^2}.$$

Esto significaría que

$$p=\sum_{k=1}^\infty \mathbb P(d=k)\frac 1k=\frac 1{\zeta(2)}\sum_{k=1}^\infty\frac 1{k^3}=\fbox{$\frac {\zeta(3)}{\zeta(2)}\approx0.7308$}.$$

Mis preguntas.

• Estoy muy acostumbrados a hacer de las probabilidades, por lo que es el enfoque correcto?

• Podemos generalizar el resultado / el enfoque para encontrar $p_n$ la probabilidad de que un lineal de la ecuación de Diophantine con $n$ variables tiene una solución?

• Si no podemos obtener un valor exacto para $n$ variables, podemos obtener una aproximación numérica de $p_n$?

• ¿Cuál es el límite de $p_n$?

Answer 1

Los obtenidos de las estimaciones son de un carácter escolástico, ya que en los juicios sobre infinitamente grandes números no debe ser una limitante de la transición. En particular, la situación no es tomado en cuenta a la hora de los números bajo consideración son tan diferentes que para algunos factores, uno de ellos ha $p=0.$
Lógicamente, debemos elegir paramétrico de la distribución de probabilidad (el mismo para ambos números) y tomar en cuenta el número de multiplicadores sencillos para cada uno de ellos. Es posible que incluso la limitación de las estimaciones para diferentes distribuciones no van a coincidir.