Un problema acerca de conos en un functor

Question

Si $F:\mathscr{A}\longrightarrow\mathscr{B}$ es un functor, un cono en $F$ es, por definición, un objeto $B$ $\mathscr{B}$ junto con una familia de morfismos $p_A:B\longrightarrow FA$ $\mathscr{B}$ tal que para cada morfismos $f:A\longrightarrow A'$ en $\mathscr{A}$, $p_{A'}\circ F(a)=p_A$.

Ahora considere este caso en particular (que viene de Manual de categórico álgebra, Borceux, Tomo 1 pag. 70). Tenemos un functor $G:\mathscr{C}\longrightarrow\mathscr{D}$, que satisface las dos propiedades:

1) $\forall D\in\mathscr{D}\ \ \exists C\in\mathscr{C}$ $\exists d:GC\longrightarrow D$

2) $\forall C,C'\in\mathscr{C},\ \ \ \forall D\in\mathscr{D}\ \ \ \forall d:GC\longrightarrow D\ \ \ \forall d':GC'\longrightarrow D\ \ \ \exists C''\in\mathscr{C}$

$\exists c:C''\longrightarrow C\ \ \ \exists c':C''\longrightarrow C'$ tal que $d\circ Gc=d'\circ Gc'$

Ahora considere la posibilidad de una segunda functor $F:\mathscr{D}\longrightarrow\mathscr{A}$. Cada cono $(M,(q_D)_{D\in\mathscr{D}})$ $F$ inmediatamente induce un cono $(M,(q_{GC})_{C\in\mathscr{C}})$$F\circ G$. Por el contrario, considere la posibilidad de un cono $(M,(r_C)_{C\in\mathscr{C}})$$F\circ G$. Quiero demostrar que induce un único cono $(M,(q_D)_{D\in\mathscr{D}})$ $F$ tal que $q_{GC}=r_C$. Para hacer eso, definir para cada objeto $D$$\mathscr{D}$, la proyección de $q_D:=Fd\circ r_C$. Existe desde por la propiedad 1), para cada $D$ me puede elegir un objeto $C$ $\mathscr{C}$ y un arow $d:GC\longrightarrow D$$\mathscr{D}$, y no depende de esta elección, ya que por la propiedad 2), una opción diferente a $C'$ $d'$ produce el mismo compuesto $Fd'\circ r_{C'}=Fd\circ r_C$. Por otra parte, la elección de $d=1_{GC}$, obtenemos $q_{GC}=r_C$.

Lo que no entiendo es cómo puede ser demostrado que el $(M,(q_D)_{D\in\mathscr{D}})$ es en realidad un cono en $F$, que es: dado un morfismos $g:D\longrightarrow D'$ $\mathscr{D}$ ¿cómo puede ser demostrado que el $Fg\circ q_D=q_{D'}$?

Answer 1

Esto puede ser un poco denso, por lo que quisiera saber si me debería ampliar ciertos pasos.

Vamos a no ser$f:D\to D'$$\mathscr{D}$. Entonces por la propiedad 1 de $G$ no es un porcentaje ( $d:GC\to D$ $d':GC'\to D'$ ; por la propiedad 2, hay un $C''$ y $c:C''\to C$,$c':C''\to C'$ tal que $f\circ d\circ Gc=d'\circ Gc'$. De ello se desprende que $F(f\circ d\circ Gc)\circ r_{C''}=F(d'\circ Gc')\circ r_{C''}$. Debido a $\{r_C\}_{C\in\mathscr{C}}$ es un cono sobre $F\circ G$, esto se reduce a $Ff\circ Fd\circ r_C=Fd'\circ r_{C'}$. Pero este dice que $Fd\circ r_C = q_D$ $Fd'\circ r_{C'}=q_{D'}$ satisfacer la connaturalidad de la condición de un cono.