La continuidad absoluta de la relación de dos funciones absolutamente continuas

Question

Será el cociente de dos funciones absolutamente continuas, decir $f$ $g$ donde $g$ no es fuga, siendo absolutamente continua?

Answer 1

En un cerrado delimitado intervalo, sí. En efecto, el vector de valores de la función $\phi(x)=(f(x),g(x))$ es absolutamente continua por supuesto, y que toma valores en algunos cerrado rectángulo $R=[a,b]\times [c,d]\subset \mathbb R^2$$c>0$. La función de $\psi(u,v)= u/v$ es de Lipschitz en este rectángulo, ya que su pendiente es acotada. Es fácil ver a partir de la definición de que después de la composición con una función de Lipschitz preserva la continuidad absoluta. Por lo tanto, la composición de la $\psi\circ \phi$ es absolutamente continua, y esto es, precisamente,$f/g$.

En una desenfrenada intervalo de esto no es cierto, los ejemplos se señaló por hardmath en los comentarios. Lo cierto es que $f/g$ a nivel local es absolutamente continua; y, en general, en dominios no acotados en el local del formulario de absoluta continuidad es más útil.