En la Mecánica Cuántica, a menudo se trata con wavefunctions de partículas. En ese caso, es natural considerar como el espacio de estados en el espacio de $L^2(\mathbb{R}^3)$. Por otro lado, en el libro que estoy leyendo, hay una construcción que es muy elegante y general, sin embargo, no es riguroso. Para aquellos interesados en ver el libro, es la "Mecánica Cuántica" por Cohen-Tannoudji.
El libro procede de la siguiente manera: el primer postulado de la Mecánica Cuántica dice que para cada sistema cuántico no es un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ cuyos elementos se describen los posibles estados del sistema. La idea entonces es que $\mathcal{H}$ no necesariamente es un espacio de funciones.
De hecho, Cohen define (o no definir) $\mathcal{H}$ como el espacio de las tfe $|\psi\rangle\in \mathcal{H}$, siendo las tfe sólo vectores que codifican los estados del sistema.
El segundo postulado establece que para cada físicamente observables cantidad hay asociada una hermitian operador $A$ de manera tal que los únicos valores posibles de ser medidos son los autovalores de a $A$ y tales que
Si $A$ ha discreta del espectro de $\{|\psi_n\rangle : n \in \mathbb{N}\}$, entonces la probabilidad de que la medición de la autovalor $a_n$ en el estado $|\psi\rangle$ $\langle \psi_n | \psi\rangle$ teniendo en cuenta que $|\psi\rangle$ está normalizado.
Si $A$ ha espectro continuo $\{|\psi_{\lambda}\rangle : \lambda \in \Lambda\}$, entonces la densidad de probabilidad en el estado de $|\psi\rangle$ de los posibles valores propios es $\lambda \mapsto \langle \psi_\lambda | \psi\rangle$
Si, por ejemplo, la posición de operador de $X$ para la partícula en una dimensión, existe, y si sus vectores propios se $|x\rangle$ con autovalores $x$, para cada una de las $x\in \mathbb{R}$, la densidad de probabilidad de la posición es $\langle x |\psi\rangle$ que es una función de $\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ y recuperar la función de onda.
Esta formulación, sin embargo, parece ser más general. En ese caso, la función de onda es sólo la información acerca de un posible tipo de medición que se puede obtener a partir de los postulados. No hay nada especial con él.
Ahora, aunque muy elegante y simple, esto no es aún un poco riguroso. Por ejemplo: la posición del operador no ha sido definida! Se trata de "el operador asociado a la posición con espectro continuo", pero esto no define el operador. En el libro, que se define en base a $\{|x\rangle\}$, pero este conjunto se define en términos de la misma, por lo que tenemos circular.
Otro problema es que por lo general estamos tratando con ilimitado a los operadores que no están definidas en el conjunto de la $\mathcal{H}$. Y un problema aún mayor es que $\mathcal{H}$ nunca fue definida!
He estado mirando adelante para encontrar la manera de hacer de este riguroso, pero no pudo encontrar nada útil. Muchas personas simplemente dicen que el camino correcto es considerar siempre $L^2(\mathbb{R}^3)$, de modo que todos los de esta charla es una tontería. Pero no estoy de acuerdo, me parece muy natural a considerar esta versión generalizada.
La única cosa de la que me he encontrado es que la idea de manipulado de Hilbert espacios, conocidos también como Gel de'fand triple. He encontrado no mucho material al respecto, pero de todos modos, no comprendo cómo puede ser utilizado para hacer este riguroso.
En ese caso, ¿cómo puede uno hacer esta idea de espacio de los estados, o en el espacio de las tfe, totalmente riguroso, la superación de los problemas que he encontrado, y posiblemente cualesquiera otras que puedan existir? Es a través del Gel'fand triple? Si es así, ¿cómo se hace?
