Recientemente he comenzado a pensar un poco acerca de Heegaard escisiones y Heegaard diagramas de cerrado orientable de 3 colectores. Me gustaría entender:
Dado un diagrama de Heegaard para $Y$, se puede 'leer'$H_{1}(Y)$$H_{2}(Y)$?
Idealmente, 'leer' significa algo así como aplicar un algoritmo a un diagrama de Heegaard $(\Sigma, \{\alpha_{i}\}, \{\beta_{i}\})$ que se describen los grupos a través de generadores y relaciones expresado en los términos de la $\alpha_{i}$$\beta_{i}$.
La aplicación de Mayer-Vietoris para la Heegaard descomposición $Y= M_{1} \cup_{\Sigma}M_{2}$, uno encuentra es suficiente para entender el mapa de $(i_{1},i_{2})_{*} : H_{1}(\Sigma) \rightarrow H_{1}(M_{1}) \oplus H_{1}(M_{2})$ inducidos por las inclusiones, como $H_{1}(Y) \cong coker((i_{1},i_{2})_{*})$$H_{2}(Y) \cong ker((i_{1},i_{2})_{*})$.
Si asumo el $\alpha_{i}$ son elegidos "muy bien", he sido capaz de escribir una matriz de la presentación de este mapa. En el caso general, creo que puedo hacer el mismo tanto tiempo como la siguiente aseveración es verdadera:
Dado un diagrama de Heegaard $(\Sigma, \{\alpha_{i}\}, \{\beta_{i}\})$, existen curvas de $\{a_{i}\}$ $\{b_{i}\}$ $\Sigma$ tal que $a_{i} \cap \alpha_{j} = \{pt\} \delta_{ij}$, $b_{i} \cap \beta_{j} = \{pt\} \delta_{ij}$, y $\{a_{i}, b_{i}\}$ generar $H_{1}(\Sigma)$.
En todos los ejemplos que hemos considerado, es fácil hacer esto. Necesidad de ser verdad esto? O hay una manera fácil de utilizar M. V. para responder a la pregunta original?
Edit: he visto este post, y ahora entiendo la presentación dada por $H_{1}(Y)$, que es muy agradable. Yo todavía me gustaría entender cómo escribir esto directamente de M. V., ya que me parece un método natural de ataque.
