¿Por qué estudiar no-T1 espacios topológicos?

Question

Puedo entender (un poco) ¿por qué uno querría para el estudio de la no-Hausdorff topologías, porque, por ejemplo, la topología de Zariski es tan importante para algebraists, y la debilidad de la topología generada por la baja de semicontinuo de las funciones de la línea real también no es T2.

Pero nunca he oído hablar de cualquier no-T1 (no Kolmogorov, los puntos no se cierra) el espacio que le es útil.

Además, para cualquier no-T1 espacio no hay un cociente de mapa para un T1 espacio, utilizando la equivalencia de la relación de "dos puntos son equivalentes si son topológicamente equivalentes, es decir, comparten el mismo barrio del sistema"? (Esto podría ser incluso un homeomorphism?)

¿Por qué no T1 el cuarto topológico axioma? De hecho, creo que vi uno de los autores lo utilizan como tal. En cualquier caso, yo no veo ninguna motivación para considerar los espacios que no satisfacen el axioma. Estoy en lo cierto en esto?

EDIT: Uh-oh. Pensé que la prueba de Kolmogorov/T0 era la misma cosa como T1 (es decir, me he olvidado de que existe algo entre Hausdorff y "todos los puntos topológicamente indistinguible").

Debo votar para cerrar esta pregunta ya que se basa en una premisa falsa?

Estoy interesado en las razones para el estudio de T0 y T1 no espacios, así, por un lado quiero dejarlo abierto.

Por otro lado, lo que yo estaba realmente confundido acerca es la razón por la que no deberíamos reducir todos los no-espacios T0 a T0 espacios de uso de la mencionada relación de equivalencia, y por lo tanto, ¿por qué nadie iba a estudiar no-T0 espacios?

Pensé que la condición de que todos los puntos son topológicamente distinguibles sólo era estrictamente más débil de Hausdorff, pero equivalente a "todos los puntos están cerrados" -- ahora me doy cuenta de mi error.

Answer 1

porque, por ejemplo, la topología de Zariski es tan importante para algebraists

La topología de Zariski no es, en general,$T_1$.

La topología de Zariski en $\text{Spec}(R)$, el primer espectro de un anillo conmutativo $R$ siempre $T_0$, pero en general no $T_1$. La no-cerrada puntos corresponden a primer ideales que no son de la máxima. Ellos son importantes para la comprensión de los esquemas.

Answer 2

Usted puede encontrar una interesante contribución a su pregunta en K. H. Hofmann artículo El Bajo de la Separación de los Axiomas T0 y T1: los temas de interés citados en el presente estudio son la geometría algebraica, el operador de la teoría, dirigida integridad (Scott topología y similares) y los inyectiva $T_0$-espacios (utilizado para encontrar modelos de $\lambda$-claculus)

Answer 3

Hay varios ejemplos importantes de una $T_0$ espacio,que es Kolomogrov pero no $T_1$. $T_0$ es el punto más débil de la separación condición que puede ser impuesta en un espacio topológico.

La página de Wikipedia para Kolomogrov espacios da varios ejemplos muy buenos de $T_0$ pero no $T_1$ tales como;

1) El punto particular de la topología en cualquier conjunto con al menos dos elementos es T₀ pero no T₁ desde el punto particular no está cerrado (su cierre es todo el espacio). Un importante caso especial es el de Sierpiński espacio que es el punto particular de la topología en el conjunto {0,1}.

2)Los excluidos de punto de la topología en cualquier conjunto con al menos dos elementos es T₀ pero no T₁. El único punto de cierre es el excluidas de punto. 3) La Alexandrov la topología en un poset es T₀ pero no se T₁ a menos que la orden es discreto (de acuerdo con la igualdad). Cada finito T₀ espacio es de este tipo. Esto también incluye el punto en particular y excluidos de punto de topologías como casos especiales. 4)El orden de la topología en un conjunto totalmente ordenado es un ejemplo relacionado. 5) La superposición de los intervalos de topología es similar a la del punto en particular de la topología, ya que cada conjunto abierto incluye a 0.

Un $T_0$ espacio permite distinguir entre los puntos topológicamente sin imponer condiciones más fuerte para propiedades topológicas, que nos permite el estudio topológico de las relaciones entre singleton conjuntos. El discreto topología permite que los embarazos únicos a ser abierto, pero realmente no permitir topológico distinciones entre ellos porque sus complementos también están abiertas.

Por ejemplo, en el punto particular de la topología, conjuntos cerrados tienen vacíos interiores. Podemos probar esto de la siguiente manera: Dado un conjunto abierto $A \subset\mathbb(X)$ $x \ne p$ es un punto límite de A. por Lo que el cierre de cualquier conjunto abierto distinta de$\emptyset$$X$. Ningún conjunto cerrado distinta de $\mathbb(X)$ contiene p de modo que el interior de cada conjunto cerrado distinta de$\mathbb(X)$$\emptyset$.También, en el punto particular de la topología, el cierre de un subespacio compacto no es compacto. Podemos demostrar de la siguiente manera: El conjunto {p} es un espacio compacto. Sin embargo, su cierre es la totalidad del espacio de $\mathbb(X)$ e si $\mathbb(X)$ es infinita esta no es compacto (ya que cualquier conjunto {t,p} es abierto).

Por razones similares si $\mathbb(X)$ es incontable, a continuación, tenemos un ejemplo en el que el cierre de un conjunto compacto no es un Lindelöf espacio!.

Todos estos ejemplos y mucho más se puede encontrar presentado con más detalle en el maravilloso libro, Contraejemplos en la Topología por Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach Jr me fuertemente aconsejar si usted está interesado en el punto de ajuste de la topología, que usted obtenga una copia.