¿Por qué las medidas de Haar son finitas en los conjuntos compactos?

Question

Estoy trabajando en la respuesta de t.b. a la pregunta de otro usuario aquí:

¿Una versión neta de la convergencia dominada?

porque estoy tratando de resolver un problema relacionado y creo que será esclarecedor.

A partir del segundo paso, "Entonces $KK'$ es compacto y, por tanto, tiene una medida de Haar finita".

¿por qué es esto cierto?

---

$\bf{\text{My attempt so far}}$ :

Dejemos que $\mu$ sea una medida de Haar izquierda en un grupo localmente compacto $G$ . Entonces $\mu$ es distinto de cero, regular y a la izquierda $G$ -invariante. Sea $K\subset G$ ser compacto.

$\color{red}{(!)}$ Si pudiera construir un conjunto $U$ con las propiedades:

(i) $1\in U$

(ii) $0 < \mu(U) < \infty$

(iii) $U$ está abierto.

Entonces podría cubrir $K$ con $\{xU : x\in K\}$ y elegir un número finito de $k_{1}, ... , k_{n}\in K$ tal que $K\subset \bigcup_{j=1}^{n}xU$ que obliga a $\mu(K)\leq \sum\limits_{j=1}^{n}\mu(xU) = n\mu(U) < \infty$ .

No sé cómo construir tal $U$ aunque parece lo suficientemente inocente como para pedirlo.

¿Esta es una $U$ existen? o la prueba es mucho más difícil?

Answer 1

Una medida de Haar es finita en conjuntos compactos por definición: Una medida de Borel $\mu$ en un grupo topológico $G$ es una medida de Haar (izquierda) si

1. $\mu$ es regular.

2. $\mu$ es invariante a la izquierda, es decir $\mu(xU) = \mu(U)$ para cualquier medida $U \subset G$ .

3. $\mu(U) > 0$ para todos $U \subset G$ abierto.

4. $\mu(K) < \infty$ para todos $K \subset H$ compacto.

Answer 2

De hecho, es posible deducir que una medida de Haar es finita en conjuntos compactos a partir del resto de los axiomas, si se supone que hay algunos subconjunto no vacío de medida finita.

Dejemos que $A\subseteq G$ tal que $\mu(A)<\infty$ . Por regularidad existe algún conjunto abierto $U\supseteq A$ tal que $\mu(U)\leqslant\mu(A)+\varepsilon<\infty$ (por cada $\varepsilon>0$ , digamos que $\varepsilon=1$ ). Dado que $U$ está abierto también tenemos $\mu(U)>0$ . Ahora, escoge algunos $u_0\in U$ y que $V:=u_0^{-1}U$ por la invariancia de la izquierda $\mu(V)=\mu(U)$ . Concluimos que $V$ está abierto, $1\in V$ y $0<\mu(V)<\infty$ .

El resto ya lo has mostrado: si $K$ es compacto, entonces $\{kV\}_{k\in K}$ es una cubierta abierta de $K$ y, por lo tanto, hay $k_1,...,k_n$ tal que $K\subseteq \bigcup_{i=1}^n k_iV$ y por lo tanto $\mu(K)\leqslant n\cdot \mu(V)<\infty$ .

No me queda claro por qué algunos ponen esto en la definición de una medida de Haar. Por cierto, tampoco es necesario suponer que una medida de Haar es positiva en conjuntos abiertos si se supone que es distinta de cero: si se tuviera algún conjunto abierto $V\subseteq G$ tal que $\mu(V)=0$ entonces claramente tendrías que $\mu(K)=0$ para cada compacto $K$ , lo que significa por regularidad que $\mu(G)=0$ .