Calcular la integral de la $\int_{-\infty}^\infty\frac{dy}{(1+y^2)(1+[x-y]^2)}$

Question

Calcular la integral de $x\in\mathbb{R}$ $$\int_{-\infty}^\infty\frac{dy}{(1+y^2)(1+[x-y]^2)}$$where $[\ ]$ es la función del suelo.

Mediante el uso de la herramienta de montaje de MATLAB estoy casi seguro que la respuesta es $$\frac{2\pi}{(x-0.5)^2+4}$$, en comparación con el resultado de una integral más fácil $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{(1+y^2)(1+(x-y)^2)}=\frac{2\pi}{x^2+4}$$ Tomando nota de que el querer integral es $f(x)*f([x])$ si $f(x)=1/(1+x^2)$, traté de calcular el $\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(f(x))\cdot\mathcal{F}(f([x])))$ por el teorema de convolución. Pero las cosas no ser más simple.

Answer 1

Mediante el uso de: $$\forall a\in\mathbb{R},\qquad \frac{1}{1+a^2} = \int_{0}^{+\infty}\sin(t) e^{-|a|t}\,dt $$ podemos calcular primero: $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|y|t} e^{-|\lfloor x-y \rfloor|s}\,dy = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|x-y|t} e^{-|\lfloor y\rfloor|s}\,dy=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\int_{n}^{n+1}e^{-|n|s} e^{-|x-y|t}\,dy$$ luego de integrar la expresión resultante se multiplica por $\sin(s)\sin(t)$$(0,+\infty)^2$.