Duda sobre la prueba de la desigualdad que involucra una Transformación Lineal

Question

Hay un ejercicio en Spivak del Cálculo de los Colectores que se utiliza todo el tiempo en el texto. El ejercicio: probar que si $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es lineal, entonces hay algunas $M \in \mathbb{R}$ tal que para todos los $h \in \mathbb{R}^n$ tenemos $|T(h)|\leq M|h|$.

Mi intento de demostrar que la suya era la siguiente: considerar la base canónica de $\mathbb{R}^n$ $\{e_i\}$ y canónica de bases de $\mathbb{R}^m$ $\{f_j$}. Entonces si $h \in \mathbb{R}^n$ tenemos $h=\sum_{i=1}^{n} h^i e_i$, y para cada una de las $e_i$ tenemos $T(e_i) = \sum_{j=1}^{m}a_{ij}f_j$. Esto implica que:

$$T(h)=\sum_{i=1}^{n}h^iT(e_i)=\sum_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^{n}h^ia_{ij}\right)f_j$$

Ahora, el uso de $|\cdot|:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ la norma euclídea, encontramos que:

$$|T(h)|^2=\sum_{j=1}^{m}\left(\sum_{i=1}^{n}h^ia_{ij}\right)^2$$

Dado que esta es una suma de números positivos y desde la raíz cuadrada de la función es siempre creciente con esto se satisface:

$$|T(h)| \leq \left(\sum_{i=1}^{n}h^ia_{ij}\right)$$

Ahora tomando la $M=\min\{a_{ij} : 1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m\}$ tenemos:

$$|T(h)|\leq M\sum_{i=1}^{n}h^i$$

Hasta que no estoy bien, sólo que no sé cómo a la conclusión de que esto es equivalente a lo que se propuso. Si $h^i > 1$ todos los $i$, es obvio que $(h^i)^2>h^i$, por lo que la suma de todas las $h^i$ es menor o igual que la suma de los cuadrados. Pero si $0 < h^i < 1$, luego tenemos a$(h^i)^2<h^i$, por lo que este argumento no se sostiene.

Alguien puede dar una ayuda con esto?

Answer 1

Observar que si ${e_i}$, $1 \leq i \leq n$ es la base canónica de $\mathbb{R}^n$ $x = \lambda_1x_1+\ldots+\lambda_nx_n$ $||x||\geq|\lambda_i|$ todos los $i$. Por lo tanto, $|\lambda_1|+\ldots+|\lambda_n| \leq n||x||$.

Ahora establezca $M' := \max\{||T(e_1)||,\ldots,||T(e_n)||\}$$M := nM'$, entonces usted tiene \begin{align} ||T(x)|| =& ||T(\lambda_1e_1+\ldots+\lambda_ne_e)|| = ||\lambda_1T(e_1)+\ldots+\lambda_nT(e_n)|| \\ \leq& |\lambda_1|\cdot||T(e_1)|| +\ldots+ |\lambda_1|\cdot||T(e_1)|| \leq M'(|\lambda_1|+\ldots+|\lambda_n|) \leq M'n||x|| \\ \leq& M||x|| \text{.} \end{align}