Aplicación del Teorema Espectral

Question

Supongamos $T$ es un compacto de auto-adjunto del operador y $f$ es un vector unitario tal que $\| (T -3)f \| \leq 1/2$. Denotar por $p$ la proyección ortogonal en la suma directa de los subespacios propios de a $T$ con autovalor $2 \leq \lambda \leq 4$. Quiero mostrar que la $$\| p f \| \geq \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

No estoy seguro de cómo considerar la norma de $p$ y cómo se relacionan con los valores propios. Quizás $$\| Tf \| = \lambda \| p \circ T f \|?$$

Answer 1

sugerencia: $\Vert(T-3)f\Vert\geq\Vert(T-3)(1-p)f\Vert\geq\Vert(1-p)f\Vert$