Supongamos que dos personas van a comprar al supermercado $100$ veces cada uno. Cada vez, eligen $10$ elementos al azar de la $1000$ artículos en la tienda. Como resultado, cada persona tiene $100$ cestas elegidas al azar de $10$ artículos.
¿Cuál es la probabilidad de que, al final, ambas personas tengan una cesta idéntica elegida al azar?
Este problema es sencillo si sé que el $100$ las cestas aleatorias son únicas (en cuyo caso se puede calcular la probabilidad de que la persona dos elija una de las $100$ cestas al azar que la persona eligió en $100$ intentos), pero no sé cómo contabilizar el hecho de que cada persona podría tener menos de $100$ cestas únicas al azar.
Al escribir esta pregunta, me di cuenta de que podría ser posible escribir la probabilidad como una suma sobre el número de cestas aleatorias únicas que la persona eligió.
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Idea: Supongamos que P1 elige $100$ cestas únicas. Entonces la probabilidad de que P2 elija una cesta idéntica es $1 - \left(1 - 100/\binom{1000}{10}\right)^{100}$ . Ahora, para obtener la probabilidad real, hay que sumar entre todo el número posible de cestas únicas donde si P1 elige $i$ cestas únicas, la probabilidad de que P2 tenga una idéntica es $1 - \left(1 - i/\binom{1000}{10}\right)^{100}$ . Sin embargo, esta expresión tiene números demasiado extremos para ser calculados con precisión...
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¿Qué quiere decir con "cifras demasiado extremas para ser calculadas con precisión"? ¿Te refieres a utilizar la coma flotante estándar del ordenador para representar todos tus números, con cálculos directos ingenuos sobre esos números utilizando tus fórmulas? Me parece que con algunos trucos, por ejemplo, conseguir una muy buena aproximación para la expresión pequeña $1 - (1-x)^{100}$ cuando $x$ está cerca de $0$ y calculando en la escala logarítmica para evitar el desbordamiento, no debería ser tan malo.
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Sí, quise decir ingenuamente en una calculadora.
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¿Exactamente uno (es decir, ningún otro par es idéntico), o al menos uno?