¿Cómo transformo los parámetros de la distribución F?

Question

Motivación

Tengo una prioridad sobre una variable aleatoria $X\sim \beta^\prime(\alpha,\beta)$ que me gustaría utilizar en JAGS. JAGS no admite el $\beta^\prime$ pero admite la distribución $F$ y la distribución F está relacionada con la $\beta^\prime(\alpha,\beta)$ así:

$$\text{if } X\sim \beta^\prime(\alpha,\beta) \text{ then } X\frac{\alpha}{\beta}\sim F(2\alpha, 2\beta)$$

Pregunta

¿Existe una transformación $$c,d = f(\alpha, \beta)$$ tal que:

$$\text{if } X\sim \beta^\prime(\alpha,\beta)\text{ then } X\sim F(c, d)?$$

¿Cuál es el enfoque analítico adecuado o la solución a este problema?

Enfoque actual

Mi solución es utilizar la simulación. Aunque es suficiente para mi aplicación, una solución formal sería más satisfactoria.

   set.seed(0)
   alpha <- 2
   beta  <- 4
   Y <- rf(100000, 2*alpha, 2*beta) * ( beta / alpha )
   parms <-signif(fitdistr(Y, 'f', start = list(df1=1, df2=2))$estimate,2)

Actualización La respuesta de Whuber afirma que no hay una transformación general.

Answer 1

No lo entiendo del todo: ¿por qué no se puede generar un $F_{2\alpha, 2\beta}$ y lo reescalamos por $\beta/\alpha$ ? Tampoco veo la relación entre el código de su enfoque actual y su pregunta, porque $Y$ parece ser un $F_{2\alpha, 2\beta}$ variante reescalada por $\alpha/\beta$ en lugar de $\beta/\alpha$ .

Sin embargo, tomando la pregunta al pie de la letra, si hay parámetros $c$ y $d$ correspondiente a $\alpha$ y $\beta$ entonces

1. La media de $X$ debe ser $\beta/\alpha$ veces la media de $F_{2\alpha, 2\beta}$ y también es igual a la media de $F_{c,d}$ .

2. El modo de $X$ debe ser $\beta/\alpha$ veces el modo de $F_{2\alpha, 2\beta}$ y también es el modo de $F_{c,d}$ .

   Utilizando la norma fórmulas y al resolverlo se obtiene una solución única

   $$\eqalign{ c = & \frac{2 \left(\alpha^2+\alpha^2 \beta \right)}{\alpha -\alpha \beta + 2 \alpha^2 \beta + 2 \beta ^2-2 \alpha \beta^2} \cr d = & \frac{2 \beta^2}{\alpha -\alpha \beta +\beta^2}. }$$

   También podemos equiparar las desviaciones:

3. La varianza de $X$ debe ser igual a $(\beta/\alpha)^2$ veces la varianza de $F_{2\alpha, 2\beta}$ y debe ser igual a la varianza de $F_{c,d}$ .

Salvo, posiblemente, los valores especiales de $\alpha$ y $\beta$ (sobre todo, $\alpha = \beta$ ), este requisito entra en conflicto con la solución anterior. Por lo tanto, no existe ninguna transformación de este tipo en general .