Estaba mirando en la ecuación geodésica, $$\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu{}_{\nu\rho} \dot{x}^\nu \dot{x}^\rho = 0, $$ y pensar acerca de cómo identificar la gravedad espacios libres mirando los símbolos de Christoffel $\Gamma^\mu{}_{\nu\rho}$. Por ejemplo, si fueran cero, dentro de ciertos límites, pude comprobar qué tipo de expresiones o señales de métrica derivados tomar. Puede ser usado para mostrar que el espacio está libre de gravedad?
Respuestas
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Doodles
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No, no necesariamente.
Espacio plano (que es lo que supongo que te refieres cuando dices que la gravedad de espacio libre) es especial porque es posible elegir un sistema de coordenadas global en la que todos los símbolos de Christoffel se desvanecen. Sin embargo, es fácil hacer una selección de sistema de coordenadas (por ejemplo, coordenadas esféricas) para que los símbolos de Christoffel son, genéricamente hablando, no de cero, incluso en la ausencia de curvatura del espacio-tiempo.
JMR
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Los símbolos de Christoffel no son tensores, que concretamente significa que incluso si hay algunos títulos de coordenadas que los hace desaparecer, hay alguna otra opción de coordenadas para los que no lo hacen.
En términos de las ecuaciones de movimiento, esto significa que para una determinada elección de coordenadas, a pesar de que el espacio es plano, geodesics no podría ser dado como $r(t) = (at+b, ct+d, et+f, gt+h)$ para los números reales $a, b, c, d, e, f$, aunque hay algún sistema de coordenadas para los que son.
Sin embargo, la curvatura de Riemann tensor, dada por $$ R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma \Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda} $$ es un tensor, así que si hay una elección de las coordenadas para que se desvanece, luego se desvanece en todos los sistemas de coordenadas.
RichieACC
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Joe Shaw
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Puede ser usado para mostrar que el espacio está libre de gravedad?
En contraste con las otras respuestas aquí, voy a empezar por decir que la respuesta a esta pregunta es "sí". Sin embargo, la respuesta a la inversa pregunta (que por desgracia poner en el título), es un enfático "no". Considerar, por ejemplo, regular el espacio Euclidiano con coordenadas esféricas. Los símbolos de Christoffel no son cero, pero el espacio es obviamente plana. Por otro lado, si los símbolos de Christoffel son cero, el espacio bajo consideración debe ser plana.
Brian
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Hay dos maneras de pensar acerca de esto y cual de ellos es más apropiado depende de lo que usted define como "gravedad".
Cuando los símbolos son cero, las ecuaciones de movimiento son manifiestamente especial-relativista. En otras palabras, cuando los símbolos son cero, la coordenada de velocidades de un proyectil permanece constante con el tiempo para una partícula libre. Si nos referimos a la ausencia de gravedad que la de coordinar las velocidades de un proyectil permanece constante con el tiempo (es decir, podemos identificar la ausencia de gravedad con el carácter inercial de coordenadas set-up) a continuación, los símbolos son cero no implica la ausencia de la gravedad.
Cuando los símbolos no son cero en un punto, siempre es posible encontrar una transformación de coordenadas que hace que el símbolo cero en ese punto y viceversa. Esto hace que la definición anterior de gravedad muy coordenadas dependientes. Es decir que la definición que identifica la ausencia de gravedad con el carácter inercial de coordenadas a la conclusión de que incluso si el subyacente en el espacio-tiempo es el mismo, no existe la gravedad en un marco y no existe la gravedad en otro marco. Por lo tanto, podemos definir una forma diferente y es más útil la noción de la gravedad mediante la identificación de la gravedad con la curvatura del espacio-tiempo. La curvatura del espacio-tiempo es una coordenada independiente hecho. Físicamente, si dos geodesics que son paralelas a un punto en que convergen o divergen, así como su progreso, a continuación, la curvatura se dice ser no-cero, y viceversa. Todos los cuerpos físicos o densidades de energía que cambiar la topología del espacio-tiempo y hace que no se Minkowskian, siempre se debe presentar la curvatura en el espacio-tiempo. Es por esta razón que la identificación de la gravedad con la curvatura es más útil. Porque entonces la ausencia o la presencia de la gravedad nos dirá si su subyacente de espacio-tiempo es Minkowskian o no. Con esta definición de la gravedad, la desaparición de los símbolos no significan que la gravedad está ausente. Es el Reimann tensor de curvatura que tendría que desaparecer para decir que la gravedad está ausente.
