¿Cuántos subespacios k-dimensionales hay en un espacio vectorial n-dimensional sobre $\mathbb F_p$?

Question

Se me pide encontrar cuántos hay subespacios de dimensión $k$ en el espacio vectorial $V$ sobre $\mathbb F_p$, $\dim V = n$.

Mi intento: 1) Encontremos el número total de elementos en $V$: asumimos que $\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ es una base en $V$. Entonces, para cada $v \in V$ podemos escribir $$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n $$ y dado que las coordenadas ($a_1, \cdots, a_n$) son de $\mathbb F_p$ hay $p^n$ vectores en $V$; $p-1$ sin el vector cero.

2) Veamos la situación donde $k=1$. Llamemos a este espacio de 1 dimensión $V'$. $$\forall v' \in V'. v' = a_1 v_1$$ donde $v_1$ es una base en $V'$. Sabemos que si hay dos vectores no nulos $u \in V'_1$ y $v \in V'_2$, no son linealmente dependientes. Entonces, cada subespacio de 1 dimensión tiene $(p-1)$ bases. Por lo tanto, hay $\frac{p^n - 1}{p-1}$ posibles subespacios de 1 dimensión en $V$

3) Un subespacio de dimensión $k$ se define por el conjunto de sus bases. Dado que la base no puede contener vectores cero, podemos escribir la fórmula para seleccionar $k$ vectores linealmente independientes: $C^k_m (p-1)^k$, donde $m = \frac{p^n - 1}{p-1}$. Aquí primero elegimos $k$ subespacios de 1 dimensión y luego elegimos uno de los $(p-1)$ vectores no nulos de cada uno de los subespacios.

4) .. desafortunadamente, aquí es donde estoy atascado. Mi intuición dice que la respuesta podría ser $\frac{p^n - 1}{(p-1)^k}$, pero esto podría estar completamente equivocado y no sé cómo terminar el problema.

Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí tienes una pista: Encuentra una fórmula para el número de posibilidades de elegir $k$ vectores linealmente independientes en $\mathbb{F}_p ^n$ (donde el orden importa). Cada una de estas elecciones sirve como una base para un subespacio de dimensión $k$, pero para cada subespacio hay varias bases, por lo que tienes que dividir por el número de bases para cada subespacio - y calcular este número involucra esencialmente la misma fórmula que la anterior.

Answer 2

Solo para dejar constancia, el número solicitado aquí es el coeficiente binomial gaussiano $\binom nk_q$ evaluado en $q=p$. La indeterminada del coeficiente binomial gaussiano se llama tradicionalmente $q$, y supongo que esto se debe en particular a la utilidad de establecerlo igual al orden de un campo finito.

Answer 3

Sea $n=\dim V$, donde $V$ es un espacio vectorial sobre cualquier campo finito $\mathbb{F}$ con $|\mathbb{F}|=r$ y $W$ es un subespacio de dimensión $k$ de $V$. En primer lugar, contamos el número de bases de $W$. Hay $r^k-1$ vectores no nulos en $W$, por lo que para seleccionar una base para $W$, el primer miembro se puede seleccionar de $r^k-1$ formas. El segundo miembro en $r^k-r$ formas y así sucesivamente. Por lo tanto, el número total es $s=(r^k-1)(r^k-r)\cdots (r^k-r^{k-1})$.

¿Cuántos subconjuntos de $k$ elementos hay en $V$, cada uno de los cuales genera un subespacio de $k$ dimensiones de $V$? La respuesta es la siguiente: para construir dicho subconjunto $A=\{v_1,\cdots , v_k\}$, obviamente $v_1$ se puede seleccionar de $r^n-1$ formas, el vector $v_2$ en $r^n-r$ formas, $\cdots$, y $v_k$ en $r^n-r^{k-1}$ formas. Por lo tanto, hay $t=(r^n-1)( r^n-r)(r^n-r^{k-1})$ de tales subconjuntos. Llamemos a esta familia de subconjuntos de $V$ como $\mathcal{B}$ y a la familia de bases de $W$ como $\mathcal{A}$. El tamaño de $\mathcal{A}$ es $s$ y el tamaño de $\mathcal{B}$ es $t$. Un miembro $A$ en $\mathcal{B}$ genera $W$ si y solo si $A$ está en $\mathcal{A$, por otro lado, cualquier subespacio de $k$ dimensiones de $V$ corresponde a un miembro de $\mathcal{B}$ y como $W$ era típico, en $\mathcal{B}$ hay $s$ elementos que todos generan el mismo subespacio. Por lo tanto, el número de diferentes subespacios de $k$ dimensiones de $V$ es $t/s$.