TL;DR : En problemas sencillos de combinatoria, ¿existe una forma sistemática de detectar el sobreconteo antes de computar los recuentos y compararlos? ¿Es lo suficientemente sencillo como para ser enseñado a los estudiantes de grado?
En mi universidad, enseñamos "Finite", un curso de matemáticas terminal para los no licenciados. Es muy popular - "popular"- ya que es obligatorio para la educación general y la escuela de negocios. Aproximadamente un cuarto del curso está dedicado a la combinatoria simple. Aquí hay un tipo de pregunta estándar:
Tienes una baraja de cartas estándar (cincuenta y dos cartas, cuatro palos de trece cartas cada uno). Se saca una mano de cinco cartas. ¿Cuántas formas hay de sacar al menos una carta de cada palo?
La respuesta correcta es $C(4,1)C(13,2)C(13,1)^3$ : Primero elige un palo para sacar dos cartas, luego elige dos cartas de ese palo, luego elige una carta de cada uno de los tres palos restantes.
Sin embargo, si un alumno no ha planteado el problema de forma correcta, pero todavía tiene la idea básica de idear un método para seleccionar la mano y contar a partir de ella, puede pensar: Primero voy a sacar una de cada palo y luego voy a sacar una de las cartas restantes: $C(13,1)^4C(48,1).$
Problema : El segundo método cuenta dos veces cada resultado.
Aquí hay otro tipo de pregunta estándar:
Tienes cinco bolígrafos, cuatro gomas de borrar y tres lápices. Dibujas tres de ellos. ¿Cuántas formas hay de dibujar al menos dos gomas de borrar?
La respuesta correcta es $C(4,2)C(8,1) + C(4,3)$ Ya que puedes dibujar dos gomas de borrar y otra cosa, o puedes dibujar tres gomas de borrar. Sin embargo, un alumno podría pensar: voy a dibujar dos gomas de borrar, y luego voy a dibujar una de las diez cosas restantes: $C(4,2)C(10,1)$ .
Problema : El segundo método cuenta de más por ocho.
Estos dos recuentos excesivos son errores típicos de los estudiantes. Son muy sutiles. Son de dos tipos diferentes: uno es un sobreconteo multiplicativo y otro es un sobreconteo aditivo. Y no sé cómo saber rápidamente si un método (por ejemplo, "sacar una de cada palo y luego sacar una quinta carta") llevará a un sobreconteo. Lo mejor que se me ocurre es "hacer el problema correctamente y comparar la respuesta con el número que obtuvieron".
Lo que me gustaría hacer es averiguar cómo saber si un método para encontrar una respuesta es un recuento excesivo sin tener que calcular el número que da y compararlo con el recuento correcto. He pensado en esto durante un tiempo, he hablado con otro profesor y no hemos podido averiguar cómo enseñar a los alumnos a identificar y corregir estos errores. Por supuesto, la primera prioridad es enseñar a los alumnos a desglosar correctamente el problema, pero después de eso, no teníamos claro cuál era la mejor manera de instruir a los alumnos para que fueran conscientes de estos sutiles errores de recuento y los corrigieran.
Pregunta : ¿Existe una forma sistemática de detectar y corregir los errores de sobreconteo en la combinatoria simple?
