Cada inyectiva función es una inclusión (hasta un único bijection)

Question

Deje $X$ ser un conjunto y deje $A$ ser un subet de $X$. Deje $i:A\longrightarrow X$ ser la habitual inclusión de $A$$X$. A continuación, $i$ es un ejemplo de una función inyectiva.

Quiero mostrar que cada función es inyectiva de este tipo.

Más precisamente: para cada conjunto $Y$ y cada función inyectiva $f:X\longrightarrow Y$, existe un subconjunto $B$ $Y$ y un bijection $g:X\longrightarrow B$ tal que $f$ factores a través de $B$, es decir, $f=j\circ g$ donde $j$ es la inclusión de $B$$Y$. Por otra parte, $g$ es única con respecto a esta propiedad.

Puedo tomar $B:=f(X)$ $g:=f$ (de modo que $g$ es el mismo de $f$ como una regla, pero con diferentes codominio) y es fácilmente comprobado que todo funciona. Por otra parte $g$ es único, ya que $j\circ g=f=j\circ g'$ implica $g=g'$ por la inyectividad de $j$.

Hay algo que no convence a todos, en la unicidad parte.

Quiero decir, $g$ es único si puedo solucionar $B=f(X)$, pero, ¿qué acerca de la unicidad de $B$? Hay un $B'$, diferente de $B$ $g'$ $X$ $B'$bijective, de tal manera que $j'\circ g'=f$ se mantiene?

Answer 1

No. Si $j' \circ g' = f$ $j'(g'(x)) = f(x)$ todos los $x \in X$. Pero $j'$ es la inclusión de $B'$$Y$, por lo que los actos de la identidad en los elementos de $B$, $g'(x)$ son, por definición, de $g' : X \rightarrow B'$. Por lo tanto $g'(x) = f(x)$ todos los $x \in X$, lo $B' = f(X)$.