que HNN-extensiones son productos gratis? esta pregunta está relacionada con la otra aún sin resolver acerca de Nielsen-Thruston-reducibilidad y conectado-suma-irreductibilidad de 3d-toro - paquetes...
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Esto podría ayudar.
Lema Si $A$ no dividir libremente y $C$ es no trivial subgrupo de $A$ entonces el HNN extensión de $G=A*_C$ no dividir libremente.
La prueba utiliza Bajo-Serre teoría---ver Serre el libro de los Árboles a partir de 1980.
Prueba. Deje $T$ ser el Bajo-Serre árbol de la libre separación de $G$. Debido a $A$ no dividir libremente, $A$ estabiliza algunas único vértice $v$. Pero $C$ no es trivial, por lo $C$ también estabiliza un único vértice, el cual debe ser $v$. Por lo tanto, $G$ estabiliza $v$, lo que significa que el libre división fue trivial. QED
Un argumento similar muestra el siguiente.
Lema Si $ A*_C $ divisiones no trivialmente como una amalgama de producto libre $ A' *_{C'} B'$ entonces $A$ se divide $C'$ o $C$ es conjugado en $C'$.
BigMadKev
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Permítanme añadir una explícita solución parcial a la pregunta anterior: por un toro bundle $E$ sobre el círculo, el grupo fundamental de la $E$ no puede ser un producto libre de grupos, porque si lo fuera, la fundamental subgrupo de la fibra sería un producto gratis (por el Kurosch del teorema) que es imposible que el toro, a continuación, $E$ no está conectado suma, por tanto, irreductible.
Al menos el HNN, las que son gratis de los productos no puede ser toro de paquetes, y de hecho, ninguna otra superficie paquetes a menos que la superficie a ser la 2-esfera
