Producto de $n$ entero positivo consecutivo no es un $n$ ¿el poder?

Question

Si $n>2$ y $k$ es un número entero positivo, entonces no hay ningún número entero positivo $m$ satisfacer que $$k(k+1)\cdots (k+n-1)=m^n\, ?$$

He intentado probar este problema, pero no sé cómo probarlo. Sé que todo producto de enteros consecutivos no es una potencia pero quiero una prueba sencilla de mi pregunta. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que he encontrado una solución sencilla, necesitaré que alguien lo verifique.

Supongamos que $m$ existe tal que $k(k+1)(k+n1)=m^n$

entonces $k < m < k + n - 1$

$gcd(m,m+1) = 1$

$m+1$ divide el LHS pero no divide el RHS

Answer 2

Esto, y variaciones de la misma aparece en:

P. Erdos y J. L. Selfridge, El producto de enteros consecutivos nunca es una potencia Illinois J. of Math. 19(1975) 292- 301.

Answer 3

Esta solución es falsa. (No puedo borrar una respuesta aceptada).

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Una pista: Porque tienes el mismo número de términos en ambos lados, $m$ debe estar muy cerca de $k + \frac{n}{2} $ .

El $n$ El caso impar es bastante fácil, deberías ser capaz de demostrar rápidamente que

$$(k + \frac{n-1}{2} -1 )^n < k(k+1) \ldots (k+n-1) < ( k + \frac{n-1}{2} ) ^n, $$

por lo que no hay ningún número entero $m$ que funcione. El RHS funciona emparejando términos de la forma $(k+ \frac{n-1}{2} - i)(k+ \frac{n-1}{2} + i ) < (k + \frac{n-1}{2} ) ^2$ y el LHS funciona emparejando términos de la forma $(k+ \frac{n-1}{2} - i)(k+ \frac{n-1}{2} + i +1 ) > (k + \frac{n-1}{2} -1 )^2 $

Haga lo mismo para $n$ incluso, con una desigualdad ligeramente diferente.