Deje $P(n)=\{p \leq n: p\text{ is prime} \}$. Por $N$$n$, lo que es una buena aproximación para $|S(N,n)|$ donde $S(N,n)=\{x<N: \forall p\text{ prime, s.t. }p|x \to p \in P(n) \}$. En otras palabras, cómo aproximado de cuántos números de $<N$ tienen sólo los números primos de $P(n)$ en su factorización?
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Chris Benard
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Mi respuesta anterior fue una mala interpretación de la pregunta. Aquí es similar responderle a la pregunta correcta. Una vez más, vamos a $N=n^u$. El número de enteros $<N$ con todos los factores primos $<n$ es de aproximadamente $\rho(u) N$ donde $\rho(u)$ es Dickman de la función.
Para $0 \leq u \leq 1$, claramente tenemos $\rho(u)=1$.
Para $1 \leq u \leq 2$, el número de enteros que NO tienen la propiedad deseada es $\sum_{n \leq p \leq N} \lfloor N/p \rfloor$, donde la variable $p$ ejecuta a través de los números primos en el rango indicado. Uno puede justificar el giro de la suma en forma integral y descartando el mayor entero de la función: $$\int_{p=n}^N \frac{N}{p} \frac{dp}{\log p} = \int_{x=1/u}^1 \frac{N}{N^x} \frac{(\log N) N^x dx}{x \log N} = N \int_{x=1/u}^1 \frac{dx}{x} = N \log u.$$ En la primera igualdad, nos pusimos $p =N^x$.
Por lo que el número de enteros que tienen la propiedad deseada es aproximadamente el $N - N \log u$, e $\rho(u) = 1-\log u$.
Para $u$ en rangos superiores, uno tiene que preocuparse por el doble cómputo, además de las integrales rápidamente llegar a ser reversible. La página de la Wikipedia es bastante bueno, lo voy a dejar aquí.
Chris Benard
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AÑADIDO Oops! Pensé que quería que todos los primos divisores de $N$$>n$, no $<n$, y eso es lo que la respuesta direcciones de abajo. Para tu pregunta, hay una respuesta similar que involucra Dickman de la función, que me han añadido como de respuestas separada.
Revisión constante $u >1 $ y deje $N = n^u$. Como $n \to \infty$, tenemos $$|S(N,n)| \sim \omega(u) \frac{N}{\log n}.$$ donde $\omega$ es Buchstab de la función. Buchstab la función es seccionalmente suave, con singularidades en los enteros. Voy a trabajar fuera de algunos valores especiales de $u$ a continuación:
Si $1< u < 2$, $|S(N,n)|$ es el número de números primos entre $N$$n$, lo $\pi(N) - \pi(n)$. El primer término es mucho más grande que el segundo, por lo que $$|S(N,n)| \sim \pi(N) \sim \frac{N}{\log N} = \frac{1}{u} \frac{N}{\log n}.$$ Por lo $\omega(u)=1/u$$1 < u <2$.
Si $2 < u < 3$, $S(N,n)$ tiene dos tipos de elementos: los números Primos entre $N$$n$, y los productos de $pq$ de dos primos con $p<q$, $p$ y $q > n$$pq<N$. Tenga en cuenta que $p$ es necesariamente $\leq N^{1/2}$. Así $$|S(N,n)| =\pi(N)- \pi(n) + \sum_{p \ \mathrm{prime}, n < p < N^{1/2}} \left( \pi(N/p) - \pi(p) \right).$$ De nuevo, el segundo $\pi$ plazo en cada expresión es insignificante. Utilizando el teorema de los números primos y de no ser riguroso, los esperamos $$|S(N,n)| \approx \frac{N}{\log N} + \int_{p=n}^{N^{1/2}} \frac{N/p}{\log (N/p)} \frac{dp}{\log p}.$$ Poner $p = N^x$, la integral es $$\int_{1/u}^{1/2} \frac{N^{1-x}}{(1-x) \log N} \frac{\log N \cdot N^x dx}{x \log N} = \int_{1/u}^{1/2} \frac{N dx}{x (1-x) \log N}$$ $$=\frac{N}{\log N} \log(u-1) = \frac{\log(u-1)}{u} \frac{N}{\log n}.$$ Por lo $\omega(u) = 1/u + \log(u-1)/u$ $2 < u <3$ (si no me tornillo de seguridad de la integral).
Para $3< u < 4$, un análisis similar se da una integral que no se puede hacer en forma cerrada, y para $u>4$, usted termina con las integrales de esas integrales que no se puede hacer en forma cerrada. Pero esto debe darle una idea.
Al $u$ es muy grande, tenemos $$|S(N,n)| \approx N \prod_{p < n} (1-1/p) \sim N \cdot e^{- \gamma}/\log n$$ por Merten del teorema. Por lo $\omega(u) \to e^{- \gamma}$$u \to \infty$.
