¿Qué número es 1 menos que 7?

Question

a) Probar que, si $z$ $w$ son números complejos y $|w| = 1$, luego

$$\frac{|z-w|}{|1- \bar z w|} = 1$$

b) Probar que, si $|z|<1$, $|w|<1$, entonces

$$\frac{|z-w|}{|1- \bar z w|} < 1$$

Me han resultado de la parte(a), pero estoy atascado en la parte(b). He intentado utilizar el triángulo de las desigualdades, pero estoy haciendo no-lo suficientemente bueno límites superiores, por ejemplo, un límite de $2$ en lugar de $1$.

Cualquier sugerencias o soluciones para la parte(b) son bienvenidos y apreciados.

Gracias,

Answer 1

Para la parte (b), demostramos $|1-\overline{z}w|^2 > |z-w|^2$

Lado izquierdo es:

$\begin{align} |1-\overline{z}w|^2 = (1-\overline{z}w)(1-\overline{\overline{z}w}) = (1-\overline{z}w)(1-z\overline{w}) &= -\overline{z}w-z\overline{w}+1+z \overline{z}w \overline{w} \\ &= -(\overline{z}w+z\overline{w}) + (1+|z|^2|w|^2) \end{align}$

Lado derecho es:

$\begin{align} |z-w|^2 = (z-w)(\overline{z}-\overline{w}) &= -\overline{z}w-z\overline{w}+z\overline{z}+w\overline{w} \\ &= -(\overline{z}w+z\overline{w}) + (|z|^2+|w|^2) \end{align}$

Ahora solo nos falta demostrar que $1+|z|^2|w|^2 > |z|^2+|w|^2$

Se nos da $|z|,|w|<1$$|z|^2,|w|^2<1$.

Por lo tanto

$\begin{align} (1-|z|^2)(1-|w|^2) > 0 &\implies \\ 1+|z|^2|w|^2-|z|^2-|w|^2 > 0 &\implies \\ 1+|z|^2|w|^2 > |z|^2+|w|^2 \end{align}$

como se requiere.

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Notas:

• Desde $|v|\ge0$ para cualquier complejo (o real) v, podemos probar los resultados deseados para $|*|^2$ en lugar de $|*|$
• $|v|^2 = v\overline{v}$ está garantizado para ser $\ge 0$
• no había necesidad de hacer nada más con el $\overline{z}w+z\overline{w}$ plazo