Es $\{f\in H^1;\;\int f=0\}$ denso en $\{f\in L^2;\;\int f=0\}$?

Question

Deje $L_*^2=\left\{f\in L^2(a,b);\;\int_a^b f\;dx=0\right\}$ $H_*^1=\left\{f\in H^1(a,b);\;\int_a^b f\;dx=0\right\}$ donde $-\infty<a<b<\infty$.

Es $H_*^1$ denso en $(L_*^2,\|\cdot\|_{L^2})$?

Gracias.

Answer 1

La respuesta es SÍ.

Sabemos que todas las $f\in L^2(a,b)$ $L^2$- aproximada por funciones continuas en $[a,b]$. Por ejemplo, esto se puede hacer con series de Fourier - Si $f\in L^2(a,b)$, luego $$f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}\hat f_{\!\!k}\,\mathrm{e}^{ik\frac{2\pi}{b}x},$$ donde $\hat f_{\!\!k}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{e}^{-ik\frac{2\pi}{b-a}x}\,dx$, y con $$\|f\|_{L^2(a,b)}^2=(b-a)\sum_{k\in\mathbb Z}|\,\hat f_{\!\!k}|^2.$$ Entonces para cualquier $\varepsilon>0$, existe una lo suficientemente grande $n$, de tal manera que $$\|f-f_n\|_{L^2(a,b)}<\varepsilon,$$ donde $$f_n(x)=\sum_{|k|\le n}\hat {f_k}\,\mathrm{e}^{ik\frac{2\pi}{b}x}, \etiqueta{1}$$ y claramente $f_n\in C[a,b]$. De hecho, $f_n\in C^\infty[a,b]$ y, en particular,$f_n\in H^1(a,b)$.

Si, en particular,$f\in L_*^2(a,b)$,$\hat {f_0}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx=0$, y por lo tanto $f_n$, tal como se define por $(1)$ también tiene una fuga $\hat {f_0}$ plazo, y por lo tanto $$\int_a^b f_n(x)\,dx=0,$$ así. De hecho, esto significa que $f_n\in H^1_*(a,b)$.