Teorema de Lusin y conexión entre funciones medibles y continuas

Question

Sé que se han hecho preguntas similares a esta en este lugar, pero aún no he encontrado una respuesta a mi pregunta.

Estoy tratando de demostrar el Teorema de Lusin:

Dejemos que $f$ sea una función medible de valor real sobre $[a,b]$ . Dado $\delta>0$ existe una función continua $\theta$ en $[a,b]$ tal que $\mu(\{x;f(x)\neq\theta(x)\})<\delta$ .

Y en las notas que estoy leyendo, la primera línea de la prueba dice:

Dejemos que $f(x)$ ser medible en $[a,b]$ y que $\delta>0$ . Para cada $n$ existe una función continua $h_n$ en $[a,b]$ tal que $$\begin{equation}\mu(\{x:|h_n(x)-f(x)|\geq\delta/2^{n+2}\}<\delta/2^{n+2}.\end{equation}$$

¿Cómo es esto cierto? No veo cómo podemos hacer ninguna suposición sobre las funciones continuas sólo teniendo en cuenta que tenemos una función medible.

Answer 1

Dejemos que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ sea una función medible y $\epsilon>0$ . En primer lugar, demuestre que existe una función simple $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que

$$\{x\mid |f(x)-g(x)|>\epsilon\}$$ tiene una medida inferior a $\epsilon/2$ .

Ahora escribe $g$ como $\sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{A_i}$ con todos $\alpha_i$ distinto. Por regularidad interna, hay conjuntos cerrados disjuntos $C_1,\ldots,C_n$ tal que $C_i\subseteq A_i$ para todos $i$ y $A_i\setminus C_i$ tiene una medida inferior a $\epsilon/2n$ . Dejemos que $g'=\sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{C_i}$ y nota que $$\{x\mid |f(x)-g'(x)|>\epsilon\}$$ tiene una medida inferior a $\epsilon$ . Además, la restricción de $g'$ a $C$ es continua. Ahora extendemos $g'$ de $C$ a una función continua $h$ en todos los $[a,b]$ . Ver aquí para los detalles. Eso es todo.