Ejercicio 1.1 en Serre de los árboles de la

Question

Tengo en el hecho de ser atrapado por el primer problema en Serre, el libro de los Árboles. Es un poco vergonzoso, pero ho-hum. Voy a empezar con Serre la definición de directa límites.

Deje $(G_i)_{i \in I}$ ser una familia de grupos y para cada par $(i,j)$, vamos a $F_{ij} \subset \mathrm{Hom}(G_i,G_j)$. No existe un único grupo de $G$ y una familia de homomorphisms $f_i \colon G_i \to G$ tal que $f_j \circ f = f_i$ todos los $f \in F_{ij}$ que tiene la siguiente característica universal: si $H$ es un grupo, y si $h_i \colon G_i \to H$ es una familia de homomorphisms tal que $h_j \circ f = h_i$ todos los $f \in F_{ij}$, entonces existe exactamente un homomorphism $h \colon G \to H$ tal que $h_i = h \circ f_i$. Podemos decir $G$ es el límite de $G_i$ en relación al $F_{ij}$.

Tomar tres grupos $A$, $G_1$, $G_2$ y dos homomorphisms $f_1 \colon A \to G_1$, $f_1 \colon A \to G_2$. Amalgamated producto libre de $G_1 \ast_A G_2$ es el límite de $A, G_1, G_2$ en relación al $f_1, f_2$.

Generalmente se define la amalgamado producto libre y gratuito monomorphisms, sin embargo el siguiente ejercicio muestra que no hay ninguna diferencia entre Serre de la definición, y la definición con monomorphisms.

Tome $G =G_1 \ast_A G_2$ en relación a los anteriores mapas. Definir subgrupos $A^n$, $G_1^n$, $G_2^n$ de forma recursiva por las siguientes condiciones: $$Un^1 = \{ 1 \}, \quad G_1^1 = \{1 \}, \quad G_2^1= \{ 1 \}$$ $$A^n = \text{subgrupo generado por } f_1^{-1}(G_1^{n-1}) \text{ y } f_2^{-1}(G_2^{n-1})$$ $$G^n_i = \text{subgrupo generado por } f_i(A^{n})$$ Deje $A^{\infty}$ $G_i^{\infty}$ ser los sindicatos de $A^n$ $G_i^n$ respectivamente. Ahora el ejercicio dice a show que $f_i$ define una inyección de $A / A^{\infty} \to G_i / G^{\infty}_i$ y $G$ puede ser identificado con la amalgama $G_1 / G_1^{\infty} \ast_{A / A^{\infty}} G_2 / G_2^{\infty}$.

La pregunta que tengo es: ¿por qué se $A^{\infty}$ $G_i^{\infty}$ normal dentro de $A$ $G_i$ respectivamente?

EDITAR:

Así que después de discutir esto con user10193, aquí es otra razón por la que pensamos $G_i^n$ están destinados a ser la normalización de $f_i(A^n)$.

Primero ten en cuenta que cuando $\varphi \colon G \to H$ es un homomorphism y $S$ es un subgrupo de $G$ $\varphi^{-1}(\varphi(S)) = SK$ donde $K$ es el núcleo de $\varphi$.

Set$K_1 = \mbox{ker}(f_1)$$K_2 = \mbox{ker}(f_2)$. A continuación, $A^2 = \langle K_1, K_2 \rangle = K_1 K_2$ $K_1$ $K_2$ son normales. Entonces si $G^n_i$ están destinados a ser definido como lo que es, se sigue que $G_1^2 = f_1(K_2)$$G_2^2 = f_2(K_1)$. Por lo tanto $$A^3 = \langle f_1^{-1}(f_1(K_2)), f_2^{-1}(f_2(K_1)) \rangle = \langle K_1 K_2, K_1 K_2 \rangle = K_1 K_2.$$ Por lo tanto, $A^n$ $G_i^n$ a estabilizar. Esto sólo parece una tontería. Así que mi pregunta, sólo se reduce a: ¿por qué es $A^{\infty}$ normal dentro de $A$?

Answer 1

Bien, para responder a su reducido pregunta: la inversa de la imagen de un subgrupo normal es un subgrupo normal. Por lo tanto, cada una de las $A^i$ es normal en $A$ y, por tanto, su unión.