Tengo en el hecho de ser atrapado por el primer problema en Serre, el libro de los Árboles. Es un poco vergonzoso, pero ho-hum. Voy a empezar con Serre la definición de directa límites.
Deje $(G_i)_{i \in I}$ ser una familia de grupos y para cada par $(i,j)$, vamos a $F_{ij} \subset \mathrm{Hom}(G_i,G_j)$. No existe un único grupo de $G$ y una familia de homomorphisms $f_i \colon G_i \to G$ tal que $f_j \circ f = f_i$ todos los $f \in F_{ij}$ que tiene la siguiente característica universal: si $H$ es un grupo, y si $h_i \colon G_i \to H$ es una familia de homomorphisms tal que $h_j \circ f = h_i$ todos los $f \in F_{ij}$, entonces existe exactamente un homomorphism $h \colon G \to H$ tal que $h_i = h \circ f_i$. Podemos decir $G$ es el límite de $G_i$ en relación al $F_{ij}$.
Tomar tres grupos $A$, $G_1$, $G_2$ y dos homomorphisms $f_1 \colon A \to G_1$, $f_1 \colon A \to G_2$. Amalgamated producto libre de $G_1 \ast_A G_2$ es el límite de $A, G_1, G_2$ en relación al $f_1, f_2$.
Generalmente se define la amalgamado producto libre y gratuito monomorphisms, sin embargo el siguiente ejercicio muestra que no hay ninguna diferencia entre Serre de la definición, y la definición con monomorphisms.
Tome $G =G_1 \ast_A G_2$ en relación a los anteriores mapas. Definir subgrupos $A^n$, $G_1^n$, $G_2^n$ de forma recursiva por las siguientes condiciones: $$ Un^1 = \{ 1 \}, \quad G_1^1 = \{1 \}, \quad G_2^1= \{ 1 \} $$ $$ A^n = \text{subgrupo generado por } f_1^{-1}(G_1^{n-1}) \text{ y } f_2^{-1}(G_2^{n-1}) $$ $$ G^n_i = \text{subgrupo generado por } f_i(A^{n}) $$ Deje $A^{\infty}$ $G_i^{\infty}$ ser los sindicatos de $A^n$ $G_i^n$ respectivamente. Ahora el ejercicio dice a show que $f_i$ define una inyección de $A / A^{\infty} \to G_i / G^{\infty}_i$ y $G$ puede ser identificado con la amalgama $G_1 / G_1^{\infty} \ast_{A / A^{\infty}} G_2 / G_2^{\infty}$.
La pregunta que tengo es: ¿por qué se $A^{\infty}$ $G_i^{\infty}$ normal dentro de $A$ $G_i$ respectivamente?
EDITAR:
Así que después de discutir esto con user10193, aquí es otra razón por la que pensamos $G_i^n$ están destinados a ser la normalización de $f_i(A^n)$.
Primero ten en cuenta que cuando $\varphi \colon G \to H$ es un homomorphism y $S$ es un subgrupo de $G$ $\varphi^{-1}(\varphi(S)) = SK$ donde $K$ es el núcleo de $\varphi$.
Set$K_1 = \mbox{ker}(f_1)$$K_2 = \mbox{ker}(f_2)$. A continuación, $A^2 = \langle K_1, K_2 \rangle = K_1 K_2$ $K_1$ $K_2$ son normales. Entonces si $G^n_i$ están destinados a ser definido como lo que es, se sigue que $G_1^2 = f_1(K_2)$$G_2^2 = f_2(K_1)$. Por lo tanto $$ A^3 = \langle f_1^{-1}(f_1(K_2)), f_2^{-1}(f_2(K_1)) \rangle = \langle K_1 K_2, K_1 K_2 \rangle = K_1 K_2. $$ Por lo tanto, $A^n$ $G_i^n$ a estabilizar. Esto sólo parece una tontería. Así que mi pregunta, sólo se reduce a: ¿por qué es $A^{\infty}$ normal dentro de $A$?
