Integral de Lebesgue y el conjunto de Cantor

Question

Necesito para evaluar la integral de la $\int_{[0,1]} f \; d\mu $ utilizando la integral de Lebesgue al $d\mu$ es de Borel de medición y $f$ está dada por:

$$ f(x) = \begin{cases}x &x\in C, \\ 0&x\in[0,1]\setminus C , \end{casos}$$ $C$ es el conjunto de Cantor.

Entiendo que $\mu(C)=0$, por lo que no significa que- $$\int_{[0,1]} f \; d\mu =\int_{[0,1]\backslash\ C} f \; d\mu+\int_C f \; d\mu = 0+\int_C x \; d\mu$$ y $\int_C x \; d\mu =0$ porque $\mu(C)=0$ ?

Creo que soy la incomprensión algo ya que también tengo esta "pista":

si $ m\leq f(x) \leq M $,$ \int_Am\; d\mu\leq \int_Af\; d\mu \leq \int_AM\; d\mu $.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Su respuesta y su argumento son correctos, la integral es $\int_{[0,1]}f(x)dx=0$. No entiendo la idea de bien... tal vez querían un argumento como este $\forall x \in [0,1]$ sostiene que $f(x) <1$. Decir que $f(x)=x <1$ sólo en un conjunto de medida $0$, a continuación, ejecute a través de su argumento de nuevo... a Pesar de que parece bastante inútil...

Answer 2

Si $f\colon X \to \mathbb{R}$ donde $X \subseteq \mathbb{R}^n$ , $V\subseteq X$ y $\mu(V)=0$$\int\limits_{V}f=0$.

Prueba:

$$\int\limits_Vf=\int\limits_Vf^+-\int\limits_Vf^-$$ donde$f^+=\max(f,0)$$f^-=\max(-f,0)$. Según Lebesgue esquema de integración, tenemos:

$$\int\limits_Vf^+=\lim\limits_{\Delta\to 0^{+}}\lim\limits_{n\to +\infty}\sum_{i=1}^n\Delta\mu(A_i)\tag{1}$$ donde $A_i=\{x\in V:f^+(x)>i\Delta\}$.

Tenga en cuenta que $A_i\subseteq V$ , lo $0\leqslant \mu(A_i)\leqslant \mu(V)=0$ y Si estoy tomando en cuenta $(1)$, voy a obtener el $\int\limits_Vf^+=0$, este mismo acerca de $f^-$ lo que completa la prueba.

Answer 3

El hecho de que la integración de una función sobre un conjunto de medida $0$ y, a continuación, agregar la integral de una función cuyos valores son todos los $0$ significa que la integral se $0$.

Así que tu razonamiento es correcto.

La sugerencia no parece tener ninguna relación.

Answer 4

(la misma idea que en su respuesta y otras respuestas, pero con una forma de la pista: no integrales, pero en un null.e de la propiedad)

Si $f$ nulo un.e. entonces la integral de $f$ existe y no es nula. Esto puede ser mostrado para funciones simples primero. A continuación, las funciones simples dominado por $f$ debe ser nulo un.e. (este es quizá el lugar donde la pista viene en), de ahí su integrales son nulos. Finalmente, la integral de $f$ debe ser null (supremum null números).

(Supuse $f$ es no negativo en el razonamiento que he presentado, pero puede ser extendido a cualquier función utilizando el hecho de que ambos positivos y negativos de las piezas de $f$ están dominados por $|f|$.)