¿Cómo funciona este método para encontrar el centro?

Question

Digamos que tenemos una cónica con ecuación $f(x,y)=c$ .

Mi profesor dice que su centro satisface las ecuaciones :

$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$ (Si tiene centro).

No dio ninguna explicación. Pensé que esto era porque si tenemos centro $(x_0,y_0)$ entonces $f(x_0+x,y_0+y) =f(x_0-x,y_0-y)$ (Como es un centro, el punto diametralmente opuesto está en la curva). Diferenciando, obtenemos $f_x(x_0+x,y_0+y) =-f_x(x_0-x,y_0-y)$ y el ajuste $x=y=0$ obtenemos el resultado. ¿Es esto correcto? Me doy cuenta de que he asumido toda la familia de curvas $f(x,y)=c$ tienen el mismo centro, ¿cómo puedo evitarlo? ¿Es esto válido para otras curvas?

Answer 1

No asumiste que cada curva de la familia $f(x,y) = c$ tiene el mismo centro. Has demostrado que para cualquier curva de esa familia con un centro determinado $(x_0,y_0)$ , entonces el centro satisface esa relación diferencial.

Afortunadamente, toda curva con centro tiene un centro expresable como un par de coordenadas $(x_0,y_0)$ así que tu prueba es válida. Además, su prueba se generaliza fácilmente a las curvas en dimensiones superiores con un centro.