¿Por qué un simple enfoque permutacional no funciona para este problema de combinatoria?

Question

Digamos que tengo 10 manzanas, 8 naranjas y 7 plátanos.

Quiero saber de cuántas maneras puedo repartirlas en cuatro cajas distintas.

Así que mi enfoque sería considerar inmediatamente esto como un problema de permutación de anagramas:

AAAAAAAAAA|OOOOOOOO|BBBB|BBB

El ejemplo anterior nos daría 10 manzanas en la primera caja, 8 naranjas en la segunda, 4 plátanos en la tercera y 3 plátanos en la cuarta.

Así que la solución sería simplemente $$\frac{( 10 + 8 + 7 + 3)!}{10! * 8! * 7! * 3!} = \frac{28!}{10! * 8! * 7! * 3!}$$

Sin embargo, mi profesor me dijo que esto lleva a una conclusión errónea, aunque no me explicó por qué.

Luego pasó a mostrarme la forma correcta de hacerlo.

Así que me gustaría saber no cuál sería la forma correcta de resolver esto ( ya que lo sé) sino por qué mi solución propuesta no funciona.

Answer 1

Tienes que elegir $10$ artículos de la $28$ para ser manzanas, $8$ del resto que sean naranjas y $7$ de los diez restantes sean plátanos. Entonces tienes fruta en cajas. Esa es la fórmula que has dado. Tu problema entonces es que puedes reordenar la fruta en la primera caja sin que cambie tu respuesta, pero no sabes el número de frutas que hay en la primera caja, y mucho menos los diferentes tipos, por lo que sabes que hay menos arreglos de los que pensabas al principio, pero has llegado a un pequeño callejón sin salida en el análisis.

Más bien asigna las manzanas a cajas, luego las naranjas a cajas y finalmente los plátanos a cajas. Así controlas mejor las cosas indistintas antes de mezclarlas.

Answer 2

Su enfoque ordena todo (toda la fruta, y los tres tabiques entre las paredes) juntos, luego divide por las permutaciones entre cada uno tipo de la fruta y las particiones para hacerlas indistintas, lo cual es comprensible. El problema es que, dentro de cada caja, las frutas están desordenadas. Podría hacer que mi primera caja contenga $OAO$ y también podría contener $AOO$ y aunque la caja contenga una manzana y dos naranjas en cada caso, su enfoque las contaría como distintas.

Answer 3

No entiendo del todo de dónde viene tu planteamiento, pero de todos modos: el número $$\frac{( 10 + 8 + 7 + 3)!}{10! * 8! * 7! * 3!} = \frac{28!}{10! * 8! * 7! * 3!}$$ es la solución al problema de conteo donde tenemos 28 objetos que son mutuamente distintos y tenemos $4$ cajas en las que podemos encajar $10,8,7,3$ respectivamente. Entonces el número anterior nos dice de cuántas maneras podemos hacerlo, si consideramos que las configuraciones son las mismas si el ordenamiento dentro de cada caja no importa.

Evidentemente, este problema es un poco diferente: como ya señala Mark, no todos los objetos son indistinguibles en este caso. De hecho, una forma más eficiente de resolver el problema es distribuir primero el $10$ manzanas sobre todas las cajas, luego todas las naranjas, y después de haber hecho esto la distribución de los plátanos ya está fijada, por supuesto.

Espero que esto ayude.