¿Por qué el número de onda $\mathbf k$ y los campos eléctricos y magnéticos $\mathbf E$ $\mathbf B$ son perpendiculares uno al otro?
Yo lo sé, pero no he pensado en ello profundamente.
Cómo puedo probar esta conclusión matemáticamente?
Respuestas
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Ellos no están. Hay un montón de situaciones donde el $\mathbf E$ $\mathbf B$ campos no son ortogonales a cada uno o de otro (donde el último puede ser definido en absoluto) a la wavevector $\mathbf k$. Ejemplos notables incluyen fuertemente enfocado en vigas de gauss, guías de ondas, y las ondas esféricas, pero es bastante fácil (y un buen ejercicio) para cocinar ejemplos de uso de superposiciones de dos ondas planas.
Por otro lado, "moralmente" hablando, es decir, en un decididamente a mano ondulado sentido, la propiedad muy a menudo, en general, aún se mantiene, en el sentido de que si el campo se ve bastante similar a una onda plana tener un razonablemente bien definida la dirección de propagación, por lo menos dentro de algunos confinados región, los campos eléctricos y magnéticos frecuentemente serán en su mayoría ortogonales entre sí y a la dirección de propagación. Sin embargo, una estricta resultado a lo largo de esas líneas no puede ser demostrado - el duro de sólo ceros hay en el PDE nivel de las ecuaciones de Maxwell.
Lo que es cierto es el hecho de que si usted tiene un plano de la onda espacial y temporal de la dependencia $$ \mathbf E(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[\mathbf E_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{} \quad \text{y} \quad \mathbf B(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[\mathbf B_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{}, $$ a continuación, el grupo de gestión del operador puede ser sustituido como $\nabla \mapsto i\mathbf k$, debido a que $$ \nabla\cdot \mathbf C(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left [\mathbf k \cdot \mathbf C_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{} \quad \text{y} \quad \nabla\times \mathbf C(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left [\mathbf k\times \mathbf C_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{}, $$ (donde $\mathbf C=\mathbf E,\mathbf B$); de forma similar, el tiempo de los derivados pueden ser reemplazados a través de $\frac{\partial}{\partial t} \mapsto -i\omega$. De esto usted puede recuperar las ecuaciones de Maxwell en el vacío, en la forma \begin{align} i\mathbf k \cdot \mathbf E_0 & = 0 &&& i\mathbf k \cdot \mathbf B_0 & = 0 \\ i\mathbf k \times\mathbf E_0 & = i\omega \mathbf B_0 &&& i\mathbf k \times\mathbf B_0 & = -\frac{i\omega}{c^2} \mathbf E_0. \end{align} Estos, a continuación, directamente implica que $(\mathbf E_0,\mathbf B_0,\mathbf k)$ son un diestro ortogonal de la tríada.
Pero, de nuevo, como se señaló anteriormente: esta propiedad, y su prueba, sólo es estrictamente válida para ondas planas.
Terry J
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Hay muchas situaciones en las que un componente longitudinal de la E o B puede existir. Estamos acostumbrados a pensar en términos de ondas planas en el vacío. Pero ondas planas no existen en la naturaleza. Si intenta formar una finito de la viga, por ejemplo, encontrarás un pequeño componente longitudinal existe, incluso en el espacio libre. Y en guías de onda es fácil de calcular y visualizar la componente longitudinal de E a o B. sin embargo, si usted asume ondas planas en el vacío y, a continuación, $\nabla \times B$ es proporcional a $k \times B$ al igual que para E. Enchufe en la 2 de Maxwell curl de ecuaciones y se obtiene una ortogonal triple después de la transformación de Fourier de tiempo.
Añadido. Aquí están algunas citas a trabajos que muestran ejemplos de los longitudinales de campos finitos vigas en el espacio libre. Una viga con un uniforme transversal del perfil de intensidad, tiene necesariamente un componente longitudinal. En otros casos, la longitudinal de los componentes son causados por el enfoque de colimación.
Contribución de la longitudinal del campo eléctrico de un haz gaussiano a la generación de segundo armónico. S. R. Mishra y K. C. Rustagi. Opt. Commun. 74, 419 (1990)
De gauss de los haces de láser radial con la polarización. K. T. McDonald (2000)
Gráfica estudio de Laguerre-Gauss modos de haz. R. K. Arora y Z. Lu. IEE Proc.-Mw. Las Antenas De Propag. 141, 145 (1994)
Una rápida búsqueda en google va a subir muchos más. El efecto es muy utilizado en física de láser.
KR136
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user157625
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Yo creo que esto debe ser hecho ya. Sin embargo, yo no podía encontrarlo fácilmente, así que voy a tratar de explicar brevemente.
Las dos ideas principales que son:
- Todo lo relacionado con el electromagnetismo es gobernado por las ecuaciones de Maxwell.
- $\vec{E}$ $\vec{B}$ son no siempre es perpendicular, sino que son perpendiculares en vaccuum y aire (que son los casos más frecuentes).
La manera de probar esto es, precisamente, el uso de las ecuaciones de Maxwell. Son
$$ \begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} & \ & \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 \\ \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$
Pero, si usted está en vaccuum, donde no hay carga ni corriente,$J=0,\ \rho=0$, y por lo tanto
$$ \begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0 & \ & \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 \\ \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$
Aviso de que se han convertido bellamente similar para ambos campos.
Desde aquí se puede mostrar que tanto $E$ $B$ satisfacer la ecuación de onda. ... pero la ecuación de onda tiene la solución de ondas planas en vaccuum. Para una onda plana, usted todavía tiene
$$ \begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$
Por ejemplo, la componente x de la primera ecuación es
$$ \dfrac{\partial E_z}{\partial y}-\dfrac{\partial E_y}{\partial z}=-\dfrac{\partial B_x}{\partial t}$$
y, si se sustituyen $\vec{E}=\vec{E_0}e^{i(\omega t - k_x x - k_y y - k_z z)}$, entonces,
$$ k_y E_z - k_Z E_y = \omega B_x$$
Haciendo lo mismo para el resto de los componentes, se puede ver que
$$\vec{s}\times \vec{E} = \frac{\omega}{k} \vec{B}$$
Por lo $B$ es perpendicular a la dirección de propagación $\vec{s}$ y el campo eléctrico. Los mismos resultados pueden obtenerse sustituyendo en la segunda ecuación.
Shiro
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De esta manera se sigue directamente de las ecuaciones de Maxwell. Suponiendo que una onda plana solución de estas ecuaciones $$\vec E=\vec E_0 \exp(i\vec k \vec r-i\omega t)\tag 1$$ Gauss's law in free space becomes $$\nabla \vec E=i\vec k ·\vec E=0 \tag 2$$ This means that the electric field vector $\vec E$ is perpendicular to the wave vector $\vec k$. On the other hand, the Faraday-Maxwell equation yields $$\nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}=i\vec k \times \vec E=i\omega\vec B \tag 3$$ This means that the magnetic field vector $\vec B$ is perpendicular to both the wave vector $\vec k$ and the electric field vector $\vec E$.
Nota: los siguientes comentarios: Esta derivación que $\vec E$, $\vec B$ y $\vec k$ son mutuamente perpendiculares sostiene sólo por un plano de la onda EM, como se indica en la asunción de la primera frase. Mi respuesta no implica ni es la intención de sugerir que esta relación se mantiene para todas las ondas electromagnéticas. Hay muchos ejemplos de lo contrario.
