$f(x+1/2)+f(x-1/2)= f(x)$ , El período de $f(x)$ es?

Question

$f(x+1/2)+f(x-1/2)= f(x)$. A continuación, el período de $f(x)$ es:

a)$1$

b)$2$

c)$3$

d)$4$?

Intento:

He sustituido $x= x \pm1/2$, pero las ecuaciones que tengo no ayuda en absoluto.

Cómo hago para resolver este tipo de pregunta? Estoy buscando una sugerencia y no la totalidad de la solución.

Answer 1

Se puede concluir que la $f(x)=f(x+3)$ tiene para todos los $x$.

Seguir a @Mike Serio la sugerencia, \begin{align} f(x)&=f(x+1/2)+f(x-1/2),\\ f(x-1/2)&=f(x)+f(x-1). \end{align} Añadir estas dos ecuaciones, y usted tendrá $$ f(x+1/2)+f(x-1)=0, $$ o, debido a la arbitrariedad de $x$, $$ f(x+3/2)+f(x)=0. $$ Ahora vamos a $x\to x+3/2$, y $$ f(x+3)+f(x+3/2)=0. $$ La diferencia de las dos últimas ecuaciones da $$ f(x)=f(x+3). $$

Por supuesto, como @Przemysław Scherwentke ha mencionado, esto no puede significar que el $3$ es el período de $f$, como no sabemos si esto $3$ es el menor valor no negativo $T$ que garantiza $f(x)=f(x+T)$. Con todo, esto es lo que podemos obtener a partir de dicha relación.

Answer 2

Deje $L$ ser el operador en funciones en $\mathbb{R}$ tal que $(Lg)(x) = g(x+1/2)$. En términos de $L$, la ecuación de la mano de $f(x+1/2) + f(x-1/2) = f(x)$ es equivalente a $(L^2-L+1)f = 0$.

Aviso de la factorización del polinomio $$(t^6-1) = (t^3-1)(t^3+1) = (t^3-1)(t+1)(t^2-t+1)$$ Cualquier solución de $(L^2-L+1)f = 0$ automáticamente satisfacer $(L^6-1)f = 0$ o, equivalentemente,$f(x+3) = f(x)$. Esto significa $3$ es un (a través de no es necesario el menor período) de $f$.

Para los no-ejemplos triviales, tome $f(x) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}(6k+1 )x\right)$ donde $k \in \mathbb{Z}$, el menor período de $f(x)$ $\frac{3}{|6k+1|}$ y puede comprobar que son soluciones de la ecuación en la mano.

Answer 3

$f(x+1) + f(x) = f(x + \frac 12)= f(x) - f(x - \frac 12)$

$f(x+1) = -f(x - \frac 12)$

Por lo $f(x - \frac 12) = -f(x - \frac 12 - 1\frac 12) = -f(x-2)$

Por lo $f(x+1) = -f(x-\frac 12) = f(x-2)$.

Así que el período es en la mayoría de las $3$.

No está seguro de la parte superior de mi cabeza ¿cómo mostrar que no necesariamente tiene que ser más pequeño.

Answer 4

El plazo no podrá existir. Por ejemplo, una función constante $f\equiv0$ es un ejemplo sin (mínima) de un período.

Answer 5

sugerencia: $$ \eqalign{ y f(x - 1/2) + f(x + 1/2) = f(x) \cr & x = y/2\quad \Rightarrow \cr y f\left( {\left( {y - 1} \right)/2} \right) + f\left( {\left( {y + 1} \right)/2} \right) = f\left( {y/2} \right) \cr y f\left( {y/2} \right) = g\left y \right)\quad \Rightarrow \cr & g\left( {y + 1} \right) = g\left y \right) - g\left( {y - 1} \right) \cr} $$

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