Esto puede parecer una pregunta muy estúpida, pero sé que la definición de una derivada es$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, es una definición equivalente de la derivada:$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h/2)-f(x-h/2)}{h}$? Si dibujo un gráfico, me parece que deberían ser iguales, pero ¿cómo puedo mostrarlo algebraicamente?
Respuesta
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No son equivalentes en general. Pero, si el límite $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ existe, es decir, la derivada existe, entonces ambos están definidos y la igualdad (asumiendo, por supuesto, que la función está definida en algún intervalo abierto alrededor de $x$). En particular, $$\begin{align}\frac{f(x+h/2) - f(x-h/2)}{h}&=\frac{f(x+h/2)-f(x)}{h}-\frac{f(x-h/2)-f(x)}{h}\\ &=\frac{1}{2} \left(\frac{f(x+h/2)-f(x)}{h/2}-\frac{f(x-h/2)-f(x)}{h/2}\right)\end{align}$$ así que vamos a $h \to 0$ para obtener el resultado requerido.
Un contraejemplo sería $f(x) = |x|$ a 0. Entonces, la derivada no existe, ya que el límite de cualquier dirección es diferente, por lo que el límite no está definido. Pero, el 'central' derivado no existe, y es cero.
