Demostrar que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x^2)-f(0)}{x}=0$ si es diferenciable en $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $x=0$

Question

Que la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser diferenciable en $x=0$. Demostrar que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x^2)-f(0)}{x}=0$.

El resultado es bastante obvio para mí pero estoy teniendo un momento difícil argumentarlo suficientemente precisa para una prueba. Lo que tengo hasta ahora es claro que desde $f$ es diferenciable; $$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$ $ existe.

Cualquier ayuda sería mucho apreció.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\frac{f(x^2)-f(0)}{x}=\left(\frac{f(x^2)-f(0)}{x^2}\right)x$$

Answer 2

Recordar la regla de la cadena, \left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))g'(x) $$ $$ aquí \lim_{x\to 0}\frac{f(g(x))-f(g(0))}{x}=f'(g(0))(g'(0) $g(x)=x^2$ y $$) = f'(0) \cdot 0 = 0 $

Answer 3

Dadas $\epsilon>0$, hay un $\delta>0$ tal que\begin{align*} \left|\dfrac{f(u)-f(0)}{u}-f'(0)\right|

Answer 4

Si $g(x) = f(x^2)$, entonces, por la cadena de la regla, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x} = \color{blue}{g'(0)} = 2 (\color{red}{0}) f'(0) = \color{red}{0}$.

Answer 5

Para agregar un poco de intuición aquí, considerar la posibilidad de intentar construir un contraejemplo. Para obtener un límite de 1 en lugar de 0, podemos construir una función donde $f(x^2)-f(0) = x$ para todo x, y la ecuación se convierte en $x/x = 1$ en todas partes. La función de $f(x) = \sqrt x$ satisface esta para x positivo. Permitiendo a los números negativos y asegurar la continuidad de cero es entonces satisfecho con $f(x) = \begin{cases} \sqrt x & \text{if } x\ge 0 \\ - \sqrt -x & \text{if } x\lt 0 % \end{casos}$

De hecho, el límite cuando x se aproxima a cero es $x / x = 1$. Sin embargo, no es una refutación, porque en la construcción de esta función, hemos tenido que violar los requisitos. Tiene una pendiente del infinito en $f(0)$ y por lo tanto no es considerado como diferenciable en este punto, aunque es suave y continua. De forma intuitiva, cualquier función que trata de violar el límite indicado ecuación debe ser discontinua o con infinita de pendiente cero.