Demuestra que cualquier número real puede expresarse como la suma de dos números irracionales

Question

Demostrar que cualquier número real $r$ puede expresarse como la suma de dos números irracionales $x$ y $y$ .

Progreso: Tengo un ejemplo específico para cualquier número racional $r$ : $x = r-\pi$ y $y = \pi$ (o sustituir $\pi$ con cualquier número irracional). Sin embargo, no puedo encontrar una manera de demostrar esto en general para los irracionales $r$ .

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$\forall x\in\Bbb R$ la ley del medio excluido nos dice que $x$ debe ser irracional o racional. Esto debería ser obvio ya que, después de todo, $x\in\Bbb Q$ o $x\in\Bbb R \setminus\Bbb Q$ por la definición de racional e irracional.

Si $x$ es irracional entonces $x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2}$ , donde $\frac{x}{2}$ es irracional. Esto está claro ya que un racional, $\frac12$ veces un irracional, $x$ es un irracional.

Si $x$ es racional, entonces $x = (\sqrt{2}) + (x-\sqrt{2})$ donde ambos $\sqrt{2}$ y $x-\sqrt{2}$ son irracionales. Esto está claro ya que un racional, $x$ , sumado a un irracional $-\sqrt{2}$ , sigue siendo irracional.

Así que todos $x\in\Bbb R$ puede expresarse como una suma de irracionales. $\;\;\;\blacksquare$

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Prueba la igualdad general $x = (\frac12 x + z) + (\frac12 x -z)$ , $\forall x \in\Bbb R$ donde elegimos un $z\in\Bbb R$ tal que $z\in\Bbb Q$ cuando $x\in\Bbb R\setminus \Bbb Q$ y $z\in\Bbb R\setminus\Bbb Q$ cuando $x\in\Bbb Q$ . De este modo, tanto $(\frac12 x + z)$ y $(\frac12 x - z)$ están garantizados como irracionales, y la suma es siempre $x$ independientemente del subconjunto del que provenga. Si además nos aseguramos de que $z\ne 0$ entonces se garantiza que las dos formas numéricas son distintas.

Answer 2

Si $r$ es irracional, entonces $r=\frac{r}2+\frac{r}2$ .

A decir verdad, para $r$ racional también tenemos $r=\frac{r}2+\frac{r}2$ pero no es útil en este caso. :-)

Answer 3

Una prueba basada en la cardinalidad:

Dejemos que $r - \mathbb{Q} = \{r-q | q \in \mathbb{Q}\}$ . Esto tiene claramente la misma cardinalidad que $\mathbb{Q}$ por lo tanto es contable. Sea $A = \mathbb{Q}' \, \backslash \,(r-\mathbb{Q})$ sea el conjunto de números irracionales con $r - \mathbb{Q}$ eliminado. $A$ es claramente incontable. Para cualquier $x \in A$ , ambos $x$ y $r-x$ son irracionales y suman $r$ . Así, no sólo puede $r$ puede expresarse como la suma de dos números irracionales, puede expresarse de innumerables maneras. Como sólo hay un número contable de pares $(x,y)$ que contienen al menos 1 número racional y suman $r$ se deduce que la mayoría de los pares de números que suman $r$ tienen ambos términos irracionales.

La misma prueba funciona si se sustituye el conjunto de irracionales por cualquier conjunto cocontable de reales (un conjunto cuyo complemento es contable). Por ejemplo, dado un número real cualquiera $r$ la mayoría de los pares de números que suman $r$ se compone de dos no computable números.

Answer 4

Sugerencia

Si $x$ es irracional, entonces $x/2$ es irracional

Answer 5

Usted tiene $x = \sqrt2 + (x-\sqrt2)$ y $x = -\sqrt2 + (x+\sqrt2)$ . Los números $x+\sqrt2$ y $x-\sqrt2$ no pueden ser ambos racionales, porque su diferencia $2\sqrt2$ es irracional.