La consistencia de la fuerza de 0-1 valores de las medidas de Borel

Question

El siguiente es un excesivamente forma elegante de hacer una pregunta sugerida en Medidas de Borel: los Átomos vs Punto de Masas

Deje $\phi$ ser una propiedad que los espacios topológicos pueden tener (como "compacto", "$T_1$", etc.) y deje $M(\phi)$ ser la afirmación "existe un espacio topológico $X$ propiedad $\phi$, y un trivial, countably aditivo, 0-1 con valores de medida de Borel en $X$ que no es un punto de masa." (Para los fines de esta cuestión, una medida $\mu$ es un punto de masa, si existe $a \in X$ tal que $\mu(A) = 1$ fib $a \in A$.)

Para los distintos valores de $\phi$, ¿cuál es la consistencia de la fuerza de $M(\phi)$?

Un par de ejemplos:

• $M(\text{compact Hausdorff})$ es un teorema de ZFC (deje $X = [0,\omega_1] = \omega_1+1$ con el fin de topología, y considerar la Dieudonné medida.)

• $M(\text{finite discrete})$ es incompatible con ZFC.

• $M(\text{separable metrizable})$ es también incompatible con ZFC, como muestro en esta respuesta.

• $M(\text{discrete})$ está implícito en el "existe un cardinal medible", y si entiendo que el artículo de la Wikipedia correctamente, en realidad son equivalentes. Se sabe que este tiene una mayor consistencia de la fuerza de ZFC, pero no es conocido por ser inconsistente.

Yo estaría especialmente interesado en saber acerca de $M(\text{metrizable})$$M(\text{completely metrizable})$.

Answer 1

Supongamos $X$ es un espacio métrico con dos valores de difusa medida de Borel. Deje $\mathcal{U} = \bigcup \{\mathcal{U}_n : n < \omega\}$ ser una base para $X$ donde cada una de las $\mathcal{U}_n$ es la desunión de la familia de bloques abiertos - Ver aquí.

Deje $\langle x_i : i < \kappa \rangle$ lista $X$. Para cada una de las $i$, vamos a $B_i$ ser una bola abierta en torno a $x_i$ cuya medida es igual a cero. Deje $\theta \leq \kappa$ menos que $\bigcup \{B_i : i < \theta\}$ es no nulo.

Para cada una de las $n$, de considerar a la familia $\mathcal{F}_n = \{U \in \mathcal{U}_n :(\exists i < \theta)(U \subseteq B_i)\}$. Cada una de las $\mathcal{F}_n$ es la desunión de la familia de abiertos y conjuntos de si $\mathcal{F} = \bigcup \{\mathcal{F}_n : n < \omega\}$, $\bigcup \mathcal{F}$ es no nulo. Por lo tanto para algunos $n$, $\bigcup \mathcal{F}_n$ no es null. Por lo que podemos definir un total de dos valores de medida en $|\mathcal{F_n}| \leq \kappa$, por tanto, también en $\kappa$.