Consecuencia de la invariabilidad del dominio

Question

El teorema de la invariabilidad del dominio establece que

Dada una inyección continua $f : U \to \mathbb{R}^n$ , donde $U$ es un subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}^n$ , $f$ es un mapa abierto.

Estas diapositivas (véase la última diapositiva) afirman que como consecuencia,

Dada una inyección continua $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ , $n \leq m$ .

Sin embargo, ¿es cierta la siguiente afirmación?

Dada una inyección continua $f : U \to \mathbb{R}^m$ , donde $U$ es un subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}^n$ , $n \leq m$ .

Parece una combinación de las afirmaciones anteriores. Naturalmente, se cumple si $U$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ .

Answer 1

Desde $U \subset \mathbb R^{n}$ es abierta, contiene alguna bola abierta $B$ . Si restringimos $f$ a $B$ que es homeomorfo a $\mathbb R^{n}$ Entonces seguimos teniendo una inyección continua, y nos hemos reducido al caso que ya conoces.

Answer 2

Supongamos que $n>m$ y considerar el mapa compuesto $U \to \Bbb{R}^m \hookrightarrow \Bbb{R}^n$ . Esto sigue siendo continuo e inyectivo, así que por invariancia de dominio la imagen es abierta. Pero entonces tenemos un subconjunto abierto no vacío de $\Bbb{R}^n$ contenida en $\Bbb{R}^m$ , lo cual es imposible.

Answer 3

Sí. Coge un balón abierto $B=B(x,r)$ sur $U$ . Entonces $B$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ , como $[0,1)$ es homeomorfo a $[0,+\infty)$ con $0\longmapsto 0$ (utilizar las coordenadas polares y aplicar esta última al radio). Denotemos $g:\mathbb{R}^n\longrightarrow B$ tal homeomorfismo. A continuación, apliquemos el segundo resultado a $h:=f\circ g$ .