Hay un término para un magma con identidad (únicamente)?

Question

Si partimos de los magmas y tener en cuenta: la asociatividad, la identidad, la invertibility (divisibilidad). Vamos a conseguir teóricamente $2^3=8$ estructuras con respecto a si dicha estructura posee estas propiedades. Como se muestra en la imagen: https://en.wikipedia.org/wiki/Magma_(álgebra)#/media/File:Magma_to_group2.svg

No pierdas dos estructuras asociativas, divisible entre el magma y el magma con identidad. Bien, sabemos asociativa quasigroup es un grupo. Así que solo hay uno a la izquierda. ¿Hay un plazo para ello?

Y es necesario que difieren entre invertibility y divisibilidad?

Answer 1

El término "unital magma" no se usa, incluyendo por Bourbaki (Álgebra I, p. 12):

Un magma con un elemento de identidad que se llama un unital magma. Aquí, un elemento de identidad se define a ser dos caras.

La divisibilidad no implica invertibility, por lo que son distintas. Uno puede tener la divisibilidad sin un elemento de identidad; uno necesita tanto para invertibility. Nota: una a la izquierda y al revés, un derecho inversa podría no ser el mismo, pero invertibility no de la demanda de este.

Answer 2

He aquí un ejemplo de una estructura de este tipo.

$$\begin{array}{c|ccc} \cdot & e & a & b \\ \hline e & e & a & b\\ a & a & b & a\\ b & b & b & a\\ \end{array}$$

Vemos que $e$ es un elemento de identidad. Sin embargo, $(S, \cdot)$ no es asociativa, ya que $(a\cdot b)\cdot b = a\cdot b = a$, mientras que $a\cdot (b\cdot b) = a \cdot a = b$.

También, $(S, \cdot)$ no tiene inversos. No hay ningún elemento $x\in S$ tal que $a\cdot x = e$.

También, aunque no mencionó a conmutatividad, $(S, \cdot)$ no es conmutativa: $a\cdot b = b$, mientras que $b\cdot a = a$. De hecho podríamos hacer es conmutativa, a pesar de que:

$$\begin{array}{c|ccc} \star & e & a & b \\ \hline e & e & a & b\\ a & a & b & b\\ b & b & b & a\\ \end{array}$$

$(S, \star)$ todavía tiene una identidad, aún carece de la recíproca, y ahora es conmutativa. Y $(S, \star)$ todavía no asociativo, ya que $(a\star b)\star b = b\star b = a$, mientras que $a \star (b\star b) = a \star a = b$.

Supongo que una manera de hacer un magma con identidad es empezar con lo de magma que desee y, a continuación, añadir otro elemento, $e$, y extender su operación binaria a hacer $e$ actuar como una identidad. Así que creo que esto podría explicar por qué algunas personas sugirieron en los comentarios que este tipo de estructura puede no ser muy interesante, y por qué no tiene su propio nombre.