¿Cómo se podría solucionar de la siguiente ecuación en $\mathbb R^{\mathbb R}$ dice $$f \circ f=x^2.$$
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Arash
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Si la función es continua y diferenciable, entonces no es sólo una función de la satisfacción de este, el indicado en la otra respuesta.
Estoy seguro de que algunos pasos pueden ser simplificados y algunos condiciones relajado, pero por el momento, vamos a probar este a partir de esta ecuación.
- A ver que: $$ f\circ f\circ f(x)=f(f\circ f(x))=f(x^2) $$ y $$ f\circ f\circ f(x)=f\circ f(f(x))=f(x)^2. $$ Así: $$ f(x^2)=f(x)^2 $$
- $f(1),f(0)=0\text{ or }1$. Pero $f(1)=0$ fib $f(0)=1$.
- $|f(x)|=|f(-x)|$.
- $f(.)$ es positivo para $x>0$.
- Si $f$ es diferenciable: $$ f'(f(x))f'(x)=2x\\ 2xf'(x^2)=2f(x)f'(x). $$ Esto significa que $f(0)f'(0)=0$ e si $f(0)= 0$$f'(0)=0$. Si $f(0)=1$$f'(0)=0$, por lo que en cualquier caso: $f'(0)=0$.
Ahora si $f(0)=1$$f(1)=0$$f'(0)f'(1)=2$, pero esto es imposible, ya que $f'(0)=0$. Por lo tanto :
$$ f(0)=0, f(1)=1, f'(0)=0, f'(1)^2=2. $$
- Si $f'(1)\neq 0$, obtenemos $f(1)=1$. (así que todo está bien!)
- Si $f(x)=0$ $f(f(x))=0$ por lo tanto $x^2=0$, $x=0$.
No hay un solo cero para esta función y, por lo tanto si $f$ es continua, es estrictamente positivo o negativo para $x<0$. Si es negativa, entonces la función es impar: $$ f(-x)=-f(x)\implica x^2=f\circ f(-x)=f(-f(x))=-f(f(x))=-x^2 $$ lo que no es posible. Por lo tanto la función es:
$$ f(-x)=f(x). $$
Por último, desde $f(x^2)=f(x)^2$$x>0$, definir $g(x)=\frac{\ln f(x)}{\ln x}$. A continuación, el uso de este, se obtiene: $$ g(x^2)=g(x). $$ Pero cualquier función de este formulario continuo en $1$ debe ser constante (ver la secuencia de la forma$g(x^{1/2^n})$$n\to\infty$). Por lo $f(x)=x^\alpha$ algunos $\alpha$ que truns ser $\sqrt 2$ si se enchufa en la ecuación original.
