Condición para la Continuidad (dos variables)

Question

Me encontré con la siguiente pregunta, mientras que el estudio de quals. Este es de una anterior clasificación. Tengo un par de ideas (que voy a mencionar a continuación), pero estoy atascado en la forma de completar el problema. Cualquier ayuda o guía que usted puede ser capaz de ofrecer sería muy apreciada. Aquí está la pregunta, tal como aparece en la qual:

Definir: $$ f(x,y) = \begin{cases} {\Large\frac{|x|^m|y|^n}{|x|^p+|y|^q}},\; (x,y) \neq (0,0) \\ \quad\quad 0,\;\quad\quad (x,y) = (0,0) \end{casos} \quad\text{donde } m, n, p, q >0 $$

1. Encontrar algunas condiciones necesarias en $m,n,p,q$ tal que $f(x,y)$ es continua en a $(0,0)$; encontrar algunas condiciones suficientes en $m,n,p,q$ tal que $f(x,y)$ es continua en a $(x,y)=(0,0)$.

2. Encontrar una condición necesaria y suficiente en $m,n,p,q$ tal que $f(x,y)$ es continua en a $(0,0)$.

Mis pensamientos sobre este problema que se rompen en los casos. En primer lugar, he jugado con $m,n,p,q$ solo estar en $\mathbb{N}$, con la esperanza de que esto me daría con un poco de perspicacia.
Creo que puedo decir que si $m,n,p,q$ son todos iguales, que deben trabajar, como debe ser si $m\geq p$ o $n\geq q$, o ambos. Esto parece funcionar incluso para valores fraccionarios. Me siento como que no hay mucho más que me estoy perdiendo. Por otro lado, si puedo encontrar las condiciones en $m,n,p,q$ tal que $f$ se convierte diferenciable, entonces, que debería obligar a $f$ a de ser continuo. Sin forzar la diferenciabilidad, supongo que habrá muchos casos a tener en cuenta (es decir, cuando se $x,y$ son positivos, negativos, etc.).

Yo estoy un poco perdido sobre cómo proceder. Estoy teniendo problemas para limar los detalles. Muchas gracias por cualquier ayuda que puede ofrecer.

Answer 1

Reclamo: $f(x,y) \to 0 \iff m/p + n/q >1.$

Prueba: sólo necesitamos de trabajo abierto en el primer cuadrante. Nota los siguientes:

$$ (x_n,y_n) \to (0,0) \iff ((x_n)^{1/p},(y_n)^{1/q}) \to (0,0).$$

Esto nos dice que como $(x,y) \to (0,0), f(x,y)\to 0 \iff f(x^{1/p},y^{1/q})\to 0.$

Ahora

$$f(x^{1/p},y^{1/q}) = \frac{x^{m/p}y^{n/q}}{x+y}.$$

Así que echemos un vistazo a la situación de

$$g(x,y) = \frac{x^ay^b}{x+y}.$$

Te voy a mostrar $g(x,y) \to 0 \iff a+b>1,$ cual será la demanda. Supongamos $a+b>1.$

$$g(x,y) = y^{b-(1-a)}\frac{x^ay^{1-a}}{x+y}.$$

Por convexidad, la fracción de la derecha es $\le 1.$ por lo tanto $g(x,y)\le y^{b-(1-a)}\to 0.$ Supongamos $a+b=1.$

$$g(x,x) = \frac{x}{x+x} = \frac{1}{2}.$$

Por Lo Tanto $g(x,y) \not \to 0.$ Supongamos $a+b<1.$

$$g(x,x) = x^{b-(1-a)}\frac{x}{x+x} = x^{b-(1-a)}\frac{1}{2} \to \infty,$$

lo que por supuesto implica la $g(x,y) \not \to 0.$Que lo hace.