Problema en la comprensión de módulo complementa

Question

Deje $A$ $\mathbb{K}$- álgebra y $M$ $A$- módulo, $N \subset M$ ser un submódulo.

Un módulo de complemento de $N$ se define como un submódulo $N'\subset M$, de modo que $M = N \oplus N'$.

Ahora en nuestra conferencia, hemos definido la semisimple $A$-módulo de $A$-módulo, de modo que para cada submódulo existe un módulo de complemento.

Pero no es una propiedad trivial que es cierto para todos los $A$-módulos, debido a esto:

$M \cong N \oplus M / N$ donde $M / N$ $A$- módulo por la operación $a.(m+N)=a.m+N$ $a \in A$, $m+N \in M/N$, por lo $M/N$ siempre es un módulo de complemento de $N$?

Answer 1

• El módulo de $M/N$ no es un submódulo de $M$, y por lo tanto no puede ser un complemento de $N$.
• No es necesariamente cierto que $M \cong N \oplus (M/N)$. Tomemos, por ejemplo,$A = k[x]$, $M = A$ y $N = Ax = (x)$. Entonces $$ N \oplus (M/N) = (x) \oplus (k[x]/(x)) \ncong k[x] = M $$ desde $k[x]$ es de torsiones, sino $k[x]/(x)$ no lo es.
• En el ejemplo anterior el submódulo $N$ no tiene complemento directo: De lo contrario existiría algún ideal $(f) \subseteq k[x]$$k[x] = (x) \oplus (f)$. A continuación, $xf \in (x) \cap (f) = 0$ y, por tanto,$f = 0$, lo que resultaría en $k[x] = (x)$.

Answer 2

No, por ejemplo, con $A=M=\mathbb R[x]/(x^2)$, e $N=(x+(x^2))$, no hay manera de complementar $N$.

Sí, usted siempre tiene la breve secuencia exacta $0\to N\to M\to M/N$, pero $N$ es un sumando de a $M$ fib esta secuencia es la división exacta.