Dejemos que $H = \{\mathbb{S}^1 \cup \{n $ líneas paralelas que pasan por $\mathbb{S}^1\} $ . Las líneas son perpendiculares a $\mathbb{S}^1$ .
Quiero calcular el grupo fundamental de $\mathbb{R}^{3} - H$ . ¿Alguna pista?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia: wlog supone que todas las líneas son verticales y están dentro de un pequeño epsilon de la $z$ eje, y $S^1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2=1,z=0\}$ . Sea $U$ sea $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\setminus H\mid x^2+y^2> 2\epsilon^2 \}$ y que $V$ ser el resto de $H$ (tomar un pequeño engrosamiento abierto para que $U$ y $V$ tienen una intersección no vacía). Ahora utiliza el teorema de Van-Kampen.
Voy a añadir un pequeño detalle ya que esta pista no parecía ser suficiente.
Obsérvese en lo anterior que $U$ parece $\mathbb{R}^3$ con un cilindro sólido eliminado y un círculo eliminado (con el cilindro atravesándolo). Deberías ver que esto es homotópicamente equivalente a un toro (de hecho, la deformación se retrae a un subespacio toral). Sea $\alpha$ sea un generador de la componente longitudinal de $\pi_1(U)$ y $\beta$ sea un generador de la componente meridional.
También observará que $V$ es equivalente en homotopía a una cuña de $n$ círculos y (con una elección adecuada de generadores para el grupo fundamental de $V$ ) Podemos verlo en la intersección, $\beta$ es homotópico a un bucle que recorre cada generador de $\pi_1(V)$ una vez (es decir, si $\pi_1(V)=\langle x_1,\ldots x_n\rangle$ entonces $\beta$ es homotópico como bucle al elemento $x_1x_2\ldots x_n$ . Te dejaré la parte complicada de Van Kampen.
