Estoy buscando un grupo para el que el número de subgrupos es mayor que el número de elementos en el grupo! He intentado un par de posibilidades - no puede ser cíclico, y creo que vamos a tener que considerar el grupo de orden infinito.
Respuestas
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Considerar que el producto de $n \gt 2$ copias de $\mathbb{Z}_2$, un grupo de orden $2^n$. Cada elemento distinto de cero en este (aditivo) grupo ha pedido dos, por lo que además el subgrupo trivial, hay $2^n - 1$ subgrupos de orden dos.
Por supuesto, hay también un buen subgrupos de orden mayor que dos, así que más subgrupos de elementos.
bene
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$C_2 \times C_2 \times C_2$ tiene 8 elementos. Cada una de las 7 de la no-identidad de los elementos genera un subgrupo de orden 2. Cualquier par de la no identidad de los elementos que también genera un subgrupo isomorfo a $C_2 \times C_2$. Hay 7 de estos subgrupos, para un total de 14 trivial adecuada de los subgrupos.
Bhaskar Vashishth
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Número de subgrupos de $D_{2n}=\sigma(n)+\tau(n)$ donde $\sigma$ $\tau $ son la suma de los divisores y el número de divisores de a $n$, para determinar todos los $n$ que $\sigma(n)+\tau(n)>2n$ y usted tendrá un montón de muchos ejemplos (pero no trates de los números primos más grandes que $3$)
Para $n=4$, $\sigma(n)+\tau(n)=10>4$, por lo $D_4 $ es un ejemplo.
Para $n=5$, $\sigma(n)+\tau(n)$, no es cierto.
Para $n=6$, $\sigma(n)+\tau(n)=16>12$. por lo $D_6 $ es un ejemplo..
y así sucesivamente....
