Son de barrio y abrir barrio siempre intercambiables en declaraciones?

Question

De Wikipedia

Si $X$ es un espacio topológico y $p$ es un punto en $X$, un barrio de $p$ es un subconjunto $V$$X$, que incluye un abrir set $U$ contiene $p$,

Tenga en cuenta que el barrio de $V$ no necesita ser un conjunto abierto en sí mismo. Si $V$ es abierta, es llamado un barrio abierto. Algunos autores requieren que barrios ser abierto, por lo que es importante tener en cuenta los convenios.

Claramente barrio y abrir barrio son dos conceptos diferentes. Pero en el limitado número de declaraciones que he visto y puede recordar, de vecindad y de abrir barrio siempre se puede sustituir uno al otro sin cambiar las declaraciones de true a false, o de falso a verdadero.

Así que me preguntaba si de vecindad y abrir barrio siempre puede ser intercambiable en declaraciones? Si no siempre, es que la mayoría de los casos? ¿Cuáles son algunas de las declaraciones donde el intercambio entre barrio y barrio abierto que importa? Así, un ejemplo trivial es: "un barrio es un barrio" es verdadera, mientras que "un barrio es un barrio abierto" no lo es. Pero estos ejemplar declaraciones no son realmente significativas.

¿Cuál es el propósito de distinguir entre barrio y barrio abierto?

Gracias y saludos!

Answer 1

Normalmente, no hay un punto en la distinción -- porque los matemáticos tienden a no usar la palabra "barrio" en situaciones donde se iba a hacer una diferencia si se supone que debe ser abierta.

Más concretamente, cada vez que se utiliza la instrucción "existe un entorno $A$ $x$ tal que $A$ tiene la propiedad de $P$", entonces es casi siempre el caso de que si tal no abrir barrio existido, no sería también un abrir subneighborhood de ella con propiedad$P$, de todos modos. Al $P$ es tal que este no es, "barrio" sería como un término incorrecto para su uso.