Van-Kampen y cubiertas

Question

¿Existe un teorema de Van-Kampen para las cubiertas universales? Estaba buscando una referencia.

Estaba buscando algo como: dados dos espacios topológicos $X,Y$ la cubierta universal de $X\cup Y$ resulta de considerar (insertar una construcción adecuada) aplicada a las cubiertas universales de $X$ y $Y$ .

Answer 1

Lo hay. Una referencia es Knill, R. J., "The Seifert and Van Kampen Theorem via Regular Covering Spaces", Pacific Journal of Mathematics, 49(1):149-160. Considerando las dos coberturas universales originales como haces con grupos estructurales discretos, y con algunos datos sobre el solapamiento, se pueden aplicar las construcciones de haces y embragues asociadas para construir una cobertura universal del espacio combinado.

Edición: Tal vez un ejemplo de un caso sencillo. Supongamos que $B_{1}$ y $B_{2}$ son subespacios abiertos de $B = B_{1} \cup B_{2}$ y defina $B_{0} = B_{1} \cap B_{2}$ . Supongamos también que conocemos los espacios de cobertura universales de los tres, considerados como haces principales con grupos estructurales $\pi_{1}(B_{i})$ dada la topología discreta. Denotemos estos haces principales por $\xi_{i} : E_{i} \to B_{i}$ . Ahora, dejemos que $K$ sea el empuje de $\pi_{1}(B_{1}) \leftarrow \pi_{1}(B_{0}) \to \pi_{1}(B_{2})$ en la categoría de grupos. Definir los haces asociados $\xi_{i} \times_{G} K$ y, a continuación, defina $E = (E_{1} \times_{G} K) \cup (E_{2} \times_{G} K)$ y $\xi = (\xi_{1} \times_{G} K) \cup (\xi_{2} \times_{G} K)$ . Entonces $\xi$ es el empuje de $\xi_{1} \leftarrow \xi_{0} \to \xi_{2}$ en la categoría de haces principales. Por tanto, $\xi : E \to B$ tiene la propiedad universal de la cubierta universal.

Nota: Van Kampen se desprende de lo anterior. El grupo estructural de $\xi$ es $K$ y puesto que $\xi$ es la cubierta universal tenemos $K \cong \pi_{1}(B)$ . Pero esto significa que $\pi_{1}(B)$ es el empuje de $\pi_{1}(B_{1}) \leftarrow \pi_{1}(B_{0}) \to \pi_{1}(B_{1})$ que es lo que dice Van Kampen.