Se nos da $A$ es de un 6 por 6 matriz con los valores de $\mathbb C$, nos de $rank(A-3I_6)=4$, y el polinomio mínimo de a $A$ $m_A=(x-1)^2(x-3)^2$
Se nos pide encontrar todas las posibles jordania formas de $A$.
Mi solución
Sabemos que $rank((A-\lambda I)^{i-1})-rank((A-\lambda I)^i) =$ número de bloques correspondiente al autovalor $\lambda$ de orden, que es en la mayoría de los me.
$rank((A-3I)^0) - rank(A-3I) = rank(I_6)-4=6-4=2$
Así que hay 2 bloques correspondiente al autovalor $3$ y sabemos que hay un bloque de tamaño 2x2 correspondiente al autovalor $3$ debido a que es el exponente de $3$ en el mínimo polinomio. Y debido a la misma lógica, podemos decir lo mismo sobre el autovalor 1.
Resumen: se debe tener un bloque de jordan de tamaño 2x2 correspondiente al autovalor 1, debemos tener un bloque de jordan de tamaño 2x2 correspondiente al autovalor $3$, debemos tener en general 2 jordania bloques correspondiente al autovalor $3$, y el de la matriz tiene que ser una matriz de 6x6.
Solución:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$
