Demostrando $f(x)^3$ es bijective

Question

Problema: Dado que el $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es bijective, demostrar que $f^3$ es bijective.

Prueba 1a: $f(x)^3$ es inyectiva

1. Deje $f(x)^3 = f(y)^3$
2. $\sqrt[3]{f(x)^3} = \sqrt[3]{f(y)^3}$
3. $f(x) = f(y)$
4. Debido a $f$ es inyectiva, $x = y$

Prueba 1b: $f(x)^3$ es surjective

1. Deje $f(a)^3 = b$ arbitrarias de las constantes de $a$ $b$
2. $\sqrt[3]{f(a)^3} = \sqrt[3]{b}$
3. $f(a) = \sqrt[3]{b}$
4. Deje $b' = \sqrt[3]{b} \rightarrow f(a) = b'$
5. $f(x)^3$ debe ser surjective porque $\forall b' \in \mathbb{R}$, $\exists a$ tal que $f(a) = b'$

Me pregunto si esta prueba no es correcta. Si algunos de los pasos que han errores lógicos, agradecería si alguien tiene sugerencias para corregirlos. Gracias!

Answer 1

Las cosas se puede simplificar un poco si se sabe que la composición de dos bijective funciones es bijective.

A continuación, sólo tiene que demostrar que $x\mapsto x^3$ es bijective (lo cual es fácil, ya que su inversa es familiar para nosotros), e inmediatamente se puede concluir que la composición de la con $f$ es bijective.

Answer 2

Su prueba de inyectividad es la correcta, pero debería cambiar algunas palabras en su prueba para surjectivity. Para probar que una función $g(x)$ es surjective, usted debe demostrar que para cada $y$ en el codominio, existe $x$ tal que $g(x)=y$. Así que en lugar de comenzar con "Let $f(a)^3=b$ arbitrarias de las constantes de $a$$b$," te quiero comenzar diciendo: "vamos a $b \in \mathbb{R}$." A continuación, proceder a demostrar que existe $a$ tal que $f(a)^3=b$. Las ecuaciones que escribió son el "borrador de trabajo" que hacer para averiguar lo que $a$ debe ser. Pero la prueba real en su lugar, debe proporcionarse un candidato para $a$ y, a continuación, mostrar funciona. I. e., "vamos a $a=f^{-1}(\sqrt[3]{b})$ (lo cual está bien definido debido a $f$ es bijective, por lo que tiene una inversa); a continuación,$f(a)^3=f(f^{-1}(\sqrt[3]{b}))^3=(\sqrt[3]{b})^3=b$."