Tengo que resumir las ventajas de ito y stratonovich. A menudo he oído, que
la integral de Stratonovich carece de la importante propiedad de la integral de Ito, que no "mira al futuro".
¿Puede explicarme por qué Stratonovich mira hacia el futuro?
Muchas gracias.
Respuestas
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PanCrit
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La integral de Stratonovich obedece a la regla de la cadena habitual al realizar el cambio de variables, por lo que puede ser más fácil de utilizar para realizar algunos cálculos. La integral de Ito, en cambio, es una martingala, lo que le confiere algunas buenas propiedades teóricas y buenos teoremas para aprovecharlas. Véase esta respuesta relacionada para más información.
Por lo general, procesos adaptados se dice que no "ven el futuro". Tanto la integral de Ito como la de Stratonovich son procesos adaptados y, por tanto, no ven el futuro.
mookid
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Ambos son límites L2 y de probabilidad de las sumas de Riemann (a medida que el tamaño de la subdivisión llega a 0).
Ito integral
$$\sum X_{t_{i-1}} (S_{t_i} - S_{t_{i-1}})$$
Imagina que uno controla el $X$ proceso que no conoce el futuro del proceso $S$ . Este es el caso típico de las finanzas matemáticas, donde $S$ es el valor de un activo y $X$ es el número de acciones, siendo la integral el valor de la inversión en $S$ .
Integral de Stratonovich
$$\sum\frac12 (X_{t_i} + X_{t_{i-1}}) (S_{t_i} - S_{t_{i-1}})$$
La ventaja de esta integral es que si $f$ es lo suficientemente suave, se mantiene la regla de la cadena estándar para la derivación para $f(X_t)$ :
$$df(X_t) = f'(X_t) dX_t$$
No es el caso de la integral de Ito: hay un término de segundo orden para corregir la fórmula anterior.
