Hallar el lugar geométrico de los puntos de $P$ tales que las distancias desde $P$ a los lados de un triángulo dado se puede formar un triángulo.

Question

Hallar el lugar geométrico de los puntos de $P$ dentro de un determinado $\triangle ABC$ y tales que las distancias desde $P$ a los lados del triángulo dado ellos mismos pueden ser los lados de un cierto triángulo.

Únete a $PA,PB,PC$ y dejar que el perpendiculares de $P$ cumplir $BC,CA,AB$ $D,E,F$ respectivamente. Entonces, $$PA^2 = PE^2 + AE^2 = PF^2 + FA^2$$ $$PB^2 = PD^2 + BD^2 = PF^2 + BF^2$$ $$PC^2 = EC^2 + PE^2 = PD^2 + CD^2$$ $$\therefore PD = \sqrt{PC^2 - CD^2} = \sqrt{PB^2 - BD^2}$$ $$PE = \sqrt{PA^2 - AE^2} = \sqrt{PC^2 - CE^2}$$ $$PF = \sqrt{PB^2 - BF^2} = \sqrt{PA^2 - AF^2} $$ ¿Cómo debo proceder el uso de este ?

Answer 1

Si el triángulo es equilátero, entonces la suma de las distancias desde un punto arbitrario en el interior del triángulo con los tres lados es igual a la altura del triángulo, que es una constante. Así que los tres perpendiculares son las longitudes de un triángulo cuando todos ellos no son más de la mitad de la altura del triángulo dado. El punto de $P$ debe encontrarse en el punto medio del triángulo del triángulo dado.

Para un triángulo en general, he utilizado Excel para generar puntos al azar y la trama de puntos que satisface la condición.

Mi conclusión es que el $P$ debe ser un punto dentro de la incentral triángulo del triángulo dado.

Considerar en primer lugar el caso límite cuando la suma de las longitudes de los dos perpendiculares es igual a la de la tercera.

Deje $BE$ ser la bisectriz de $\angle ABC$ $CF$ de la bisectriz de $\angle ACB$ donde $E$ se encuentra en $AC$ $F$ se encuentra en $AB$. Deje $G$ ser un punto en $EF$.

Vamos $X_1$, $X_2$ y $X_3$ a ser los pies de las perpendiculares a $BC$ a partir de $E$, $F$ y $G$ respectivamente. Deje $Y_2$ $Y_3$ a ser los pies de las perpendiculares a $AC$ $F$ $G$ respectivamente. Deje $Z_1$ $Z_3$ a ser los pies de las perpendiculares a $AB$ $E$ $G$ respectivamente.

Tenga en cuenta que$EX_1=EZ_1$$FX_2=FY_2$.

Tenemos $\displaystyle \frac{GX_3-EX_1}{FX_2-EX_1}=\frac{EG}{EF}$, $\displaystyle \frac{EZ_1-GZ_3}{EZ_1}=\frac{EG}{EF}$ y $\displaystyle \frac{GY_3}{FY_2}=\frac{EG}{EF}$.

Por lo tanto,

$$\frac{GX_3-EX_1}{FX_2-EX_1}=\frac{EZ_1-GZ_3}{EZ_1}=\frac{GY_3}{FY_2}$$

$$\frac{GX_3-EX_1}{FX_2-EX_1}=\frac{EX_1-GZ_3}{EX_1}=\frac{GY_3}{FX_2}$$

Así,

$$GX_3-EX_1=GY_3-(EX_1-GZ_3)$$

$$GX_3=GY_3+GZ_3$$

(Nota: esta igualdad tiene también para los puntos externos de la división de $EF$ si se consideran negativos longitudes.)

Si $P$ es un punto interior de a $BCEF$, vamos a $Q$ ser un punto en $EF$ tal que $QP$ es perpendicular a $BC$. La distancia de $P$ $BC$es menor que la distancia de$Q$$BC$. La distancia de $P$ $AC$es mayor que la distancia de $Q$ $AC$y la distancia de $P$ $AB$es mayor que la distancia de$Q$$AB$. Ahora podemos concluir que la distancia de $P$ $BC$es menor que la suma de la distancia de $P$ $AB$y la distancia de$P$$AC$.

Deje $D$ ser un punto en $BC$ tal que $AD$ biseca $\angle BAC$.

La repetición de los argumentos anteriores, el perpendiculares de $P$ a los tres lados del triángulo son las longitudes de un triángulo si y sólo si $P$ se encuentra dentro de $\triangle DEF$.

Answer 2

Las cantidades indispensables son las distancias $d_a$, $d_b$, $d_c$ de $P$ a partir de los lados $a$, $b$, $c$ del triángulo dado $\triangle$. Por lo tanto, se debe describir el problema en un formato que estas cantidades se convierten en simples, preferiblemente lineal, funciones de los datos.

Deje que el de la circunferencia inscrita $\kappa$ $\triangle$ radio $r$ y su centro en el origen $O$. Vamos $$r(\cos\alpha,\sin\alpha),\quad r(\cos\beta,\sin\beta),\quad r(\cos\gamma,\sin\gamma)$$ sean los puntos de contacto de $\kappa$ con los lados $a$, $b$, $c$ de $\triangle$. La distancia $d_a$ $P=(x,y)\in\triangle$ desde el lado $a$ es el dado por $$d_a=r-(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\ ,$$ y lo mismo para $d_b$$d_c$. La desigualdad de triángulo $d_a\leq d_b+d_c$, a continuación, conduce a la condición $$x(\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha)+y(\sin\beta+\sin\gamma-\sin\alpha)\leq r\ .$$ El límite del conjunto de puntos que el cumplimiento de esta condición es la línea de $$\ell_a:\qquad x(\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha)+y(\sin\beta+\sin\gamma-\sin\alpha)= r\ ,\tag{1}$$ and we obtain two more such lines $\ell_b$, $\ell_c$. It follows that the feasible region (the "locus" in question) is a triangle $T$ containing obviously the point $O$. We now have to find the vertices $L_\iota$ of $T$. To this end I supplement $(1)$ with the equation for $\ell_b$: $$x(\cos\gamma+\cos\alpha-\cos\beta)+y(\sin\gamma+\sin\alpha-\sin\beta)= r\ .\tag{2}$$ La adición de $(1)$ $(2)$ da $x\cos\gamma+y\sin\gamma=r$. Este dice que el vértice $L_c:=\ell_a\wedge\ell_b$ está acostado en $c$. Restando $(1)$ $(2)$ conduce a $$-x\sin{\alpha+\beta\over2}+y\cos{\alpha+\beta\over2}=0\ ,$$ el que dice que $L_c$ se encuentra en la bisectriz de un ángulo $C\vee O$$\triangle$.

Puedo dejar el resto para usted.

Answer 3

SUGERENCIA:

Para los puntos de $P$ dentro del triángulo de la condición de $d_A=d_B+d_C$ es una parte de una línea. Se puede encontrar dos puntos en ella?

Por lo que la región debe ser delimitada por tres líneas.

Answer 4

Vamos PA' PB' y PC de' las distancias perpendiculares a los lados BC, CA y AB. WOLG, podemos asumir PA' es el más largo y PB' el menor de los tres. Para que esto suceda, P debe ser dentro de la región delimitada por $\alpha$ (la bisectriz de un ángulo de $\angle BAC$), $\beta$ (la bisectriz de un ángulo de $\angle ABC$) y la línea de CA.

(1) Forma de la //gm PA'QB'; (2) que el círculo rojo (centro = A', radius = Q) corte de AP en Q'; (3) Deje que el círculo azul (centro = P, radio = PC') corte PA' D.

De acuerdo con la desigualdad triangular, necesitamos $PC' (= PD)$ $\gt PQ'$. El caso límite es al $PC' = PQ'$ (es decir, cuando D y Q' son coincidentes). Por esta razón, se traza la línea de $\lambda$, la cual es una línea paralela a BC y a una distancia de PA' = PQ' + Q A.

El lugar geométrico de P es, por tanto, la púrpura de la región delimitada por $\alpha$, $\beta$ y $\lambda$.